求作圆被已知直线截得定比圆弧

chenmik

第二题应该是有四解

yimin0519

chenmik 发表于 2024-9-28 14:04
第二题应该是有四解

第二题，按你的做法确实可以得到四个中规中矩的解。但4楼qjchen兄的反演法过程中四条公切线（相离状况）却出现两条“废”公切线导致伪解，不知问题出在哪里，漏掉的解该如何找回。

10楼第二题的第一种解法（反演法）108°=90°+18°可以得到两个解，其实还可以考虑72°=90°-18°，亦可得到另外两个解。

两圆及直线的形位状态不同，结果导致的结果大局也有差异，譬如下图“错位”相切（非全内切或全外切）竟然也合乎要求，按阿波罗尼斯问题解法的“八切”不会出现六解吧？

yimin0519

chenmik兄反演法，过程中用72°的两解：



108°的两解：

chenmik

yimin0519 发表于 2024-9-28 15:46
第二题，按你的做法确实可以得到四个中规中矩的解。但4楼qjchen兄的反演法过程中四条公切线（相离状况） ...

下图标注参照qjchen老师的图。
个人感觉，问题出在最后解圆的偏移方向上，因为红色圆4是L1经过偏移后的L4的反形。可以看到，四条切线经变换后，其反形(粉色圆)与L4的交角是一样的。但最后两个解圆是由L4向L1偏移，故其与L1的交角相等。而两个伪解圆是由L4向L5偏移，故其与L5的交角相等而与L1的交角不等。因此只有两个解是符合题意的。

chenmik

作L4关于L1的对称直线L3，可得另外两个解。

yimin0519

chenmik 发表于 2024-9-28 14:04
第二题应该是有四解

进一步探究发现，一般情况应该是八个解！
10楼chenmik兄的第二题第二种转化为阿波罗尼斯问题的解法中，应该考虑两种情形：往上偏移和往下偏移。
实际结果每一个情形的“八切”圆中只有四个是合乎要求的，两种情况合集起来共有八解。t图示如下：
一、两种情形

二、上偏移后的解


三、下偏移后的解

yimin0519

八解合一图示：

chenmik

yimin0519 发表于 2024-9-30 14:21
进一步探究发现，一般情况应该是八个解！
10楼chenmik兄的第二题第二种转化为阿波罗尼斯问题的解法中， ...

妙啊！
当时用反演法作出了四解，用第二个解法时也作出了八个切圆，只有四个是合题意的。综合两个解法都是四解，故以为最多为四解。

chenmik

不知用反演能否作出八解？

chenmik

对了，反演法中可作出O'的另一个轨迹圆，得到另四个解。这里只作一个示意一下。