n倍角三角形的三边关系式

hejoseph

前面我代n=4的时候三倍角公式代错了，结果跟baoshisun4老师的是一样的。

能说说结论是如何推导的吗？

baoshisun4

证明的思路/_CAD=/_B$,$D$在边$BC$上，

有$DeltaCAD~DeltaCBA$得到$AD=(bc)/a,BD=(a^2-b^2)/a,AB=c,/_DAB=(n-1)/_B$,

知$f_(n-1)((a^2-b^2)/b,(bc)/a,c)=0$,假设具有齐次性得$f_(n-1)(a^2-b^2,bc,ac)=0$.

再利用数学归纳法证明（递推两次再归纳）

前面给出的递推关系得到$f_n(a,b,c)$是边$a,b,c$的$n$次齐次多项式就可以了．（略）

 

baoshisun4

诸位能否求出`f_n(a,b,c)`的显式啊？

baoshisun4

这个显式是：

$f_n(a,b,c)=1/2a^(l-k)xxsum_{i=0}^{[k/2]}(-1)^i*frac{k}{k-i}*C_(k-i)^i (ac)^(2i)(a^2+c^2-b^2)^(k-2i)$

$-1/2(b^2+c^2-a^2)a^(l-k)xxsum_{i=0}^{[k/2]}(-1)^i*C_(k-i-1)^i*(ac)^(2i)(a^2+c^2-b^2)^(k-2i-1)$

$-bc^(1+k-l)xxsum_{i=0}^{[l/2]}(-1)^i*C_(l-i-1)^i*(ac)^(2i)(a^2+c^2-b^2)^(l-2i-1)$.

其中$k=[n/2],l=[(n+1)/2],约定C_m^n=1(m=n);C_m^n=0(m<n)$.

hejoseph

有递推公式用数学归纳法应该不难证明，但如何发现公式就是比较困难了。

qjchen

此类题我是不大懂的:)

偶在 三角形趣谈 杨世明-中学生文库里面

看到如下一段，转贴一下

 

baoshisun4

此方法我在前面已提及. 非零因子是比较麻烦的.

我采用一种较为巧妙的方法A=nB=kB+lB,k=[n/2],l=[(n+1)/2]$，得$sin(A-kB)=sin(lB)$.

$frac{sinA}{sinB}*coskB-cosA*frac{sinkB}{sinB}=frac{sinlB}{sinB}$,

而$frac{sinA}{sinB}=a/b,cosA=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},cosB=frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$   (*)

$coskB=1/2sum_{i=0}^{[m/2]}(-1)^i*frac{m}{m-i}*C_(m-i)^i*(2cosB)^(m-2i)$,

$frac{sinkB}{sinB}=sum_{i=0}^{[m/2]}(-1)^i*C_(m-i-1)^i*(2cosB)^(m-2i-1)$,

$frac{sinlB}{sinB}=sum_{i=0}^{[l/2]}(-1)^i*C_(l-i-1)^i*(2cosB)^(l-2i-1)$.(切比雪夫多项式）

(*)化简即得前面我得到的n次齐次多项式．