[求作]作面积最大的园内接五边形

chenjun_nj

还敢做股票，银行股的年报出现亏损前，股市不会见底。

aneasthesia

楼主，我好像是对的哦

watt5151

aneasthesia发表于2008-11-11 16:13:00楼主，我好像是对的哦

您是不是说您在5楼的作图？

我用几何画板重复5楼的作图，得出图中的三条实红线（即5楼图的FA、FD、HG）不全相等；

当五边形面积达最大值时，这三条实红线应该全相等，也就是说，您的作法被一票否决了。

您的精神可嘉，加油下去，定可解决此题。

干爸爹！

baoshisun4

我来给个证明吧：图跟陈老师的差不多，$五边形ABCDE中，BD_|_CE,两者交点为M$,

记$/_BEC=alpha,/_BCE=beta,BE的中点为A^',圆O的半径是r$.

由五边形$ABCDE面积最大，知DeltaABE等腰，于是O,A^',A三点共线$;

又四边形$BCDE中，BD_|_CE,OA^'=1/2CD=rsin(pi/2-beta)=rcosbeta=>A^'A=r(1-cosbeta)$，

（婆罗摩笈多定理：对角线垂直的圆内接四边形中，圆心到边的距离等于对边的一半）

这样$S_(ABCDE)=1/2BD*CE+1/2BE*A^'A=1/2(BE*CD+BC*DE)+1/2BE*A^'A（托勒密定理）$

       $=1/2(2rsinbeta*2rcosbeta+2rsinalpha*2rcosalpha)+1/2(2rsinbeta)*r(1-cosbeta)$

       $=1/2r^2(sin2beta+2sinbeta+2sin2alpha)<=1/2r^2(sin2beta+2sinbeta+2)=S(beta)$.

由$S^'(beta)=0=>cos2beta+cosbeta=0,cosbeta=1/2,S_(max)=1/4r^2(3sqrt3+4)$.

取最大值时$alpha=pi/4,beta=pi/3,不难得到A^'是半径OA的中点且AB=AE=CD=r$．

陈老师的猜测完全正确！

watt5151

watt5151发表于2008-11-10 23:31:00卖电视广告的时候，楼主换算了二下子，qjchen的猜想图是正确的。有没有其他作法？

作：
作∠AOB=∠COD=90°  ∠BOC=∠DOE=∠EOA=60°
则五边形ABCDE为所求。

 

证：
设已知园半径=1
      设∠AOB=θ  ∠DOE=α  ∠EOA=β
由AC⊥BD易知∠COD=180°-θ
于是，五边形面积×2=Sinθ+Sin(180°-α-β)+Sin(180°-θ)+Sinα+Sinβ
=2Sinθ+[Sinα+Sinβ+Sin(180°-α-β)]
当五边形面积取最大值时，必有θ=90°以及α=β=(180°-α-β)
即∠AOB=90°∠DOE=∠EOA=60°从而∠COD=90° ∠BOC=60°
完了。

qjchen

谢谢baoshisun4老师的严格证明。