《越飞越高014》求外接给定的四边形的最似圆的椭圆。

highflybir

求外接一个给定的四边形的椭圆，要求这个椭圆最接近圆，即长宽比最接近1。

Lotto168

highflybir君的這個四邊形，是不是要給個設定呢？

highflybir

这个四边形是给定的，只要不是凹四边形就可以了。

yimin0519

 在下量化了一个，不得其法。如用解析几何解此类问题，就是要求外接椭圆中离心率趋近为1者(求离心率e的极大值)。解题过程中还要涉及到坐标轴的旋转(无论直角、极坐标系)，有一定难度。不知Highflybir版主主旨何在，您有何高招。个人认为，此题用lisp编程解决可能要来得快，具有通用性，Highflybir版主是个中高手，敬请赐教！

qjchen

to yimin兄，

请问您一直是用什么软件计算的，是mathmatica么，你的答案挺漂亮的。

此题很有想头，昨天用maple+python+lisp勉强求得了对于不太对称的四点，沿着360度旋转时候的各种椭圆，答案颇是让人深思。

1）看起来是4次方程，但是其答案颇是2次方程的
2）有时候会发散

3）假如是四点形成矩形或者等腰梯形的时候，无疑可以做出一个圆来。

还没有求得很好，等再仔细想想

我觉得题目可以先这样子来简化
1）已知椭圆中心点，椭圆轴是水平+垂直的，知道不对称两点，求做椭圆（有几何解，是唯一）

2）已知椭圆的水平轴位置和方向（假设水平），知道不对称三点，求做椭圆（不确定是否有几何解，是唯一）

3）已知椭圆的水平轴的方向（可以先假设水平），知道不对称四点，求做椭圆（不确定是否有几何解，是唯一）

此题目的扩展可以是
1）外接椭圆中最大面积的是多少，最小面积的是多少，周长又如何
2）内切椭圆是否一定存在，面积、周长的极值又如何？

好题目不能浪费，会好好再来思考一下的

不过今天仔细查了一下，才发现是著名数学问题的第54题，嘿嘿，那就无所谓了，慢慢的来研究比囫囵吞枣要好，不行就先把题目记起来，慢慢的做

yimin0519

利用AIP的尺寸驱动作图就可以达到这种效果，但她不能求得椭圆短、长轴比最大者(最似圆者)。
lisp语言我只是了解，功底太差，下图供Qjchen先生参考，编程难度颇大哦：

highflybir

yimin0519得到的方程有点眉目，Qjchen兄的maple+python+lisp法不简单，思路也很好，逐步求解的过程值得借鉴。不过在5楼的一些句子怎么看起来是乱码呢？

呵呵，不过这个题目好像的确是可以用作图法得出的，尽管步骤比较麻烦。

dianlinchen

http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3500557&oldpage=2&thesisid=494&flag=topic1

dianlinchen

这是其中老封给出的最简解答:

2006年5月，我利用几何画板研究经过四个定点的二次曲线离心率的下确界。
这个问题是由格戈里尼提出的：一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？斯坦纳最先给以解答。 （见于《100个著名初等数学问题——历史和解》［德］H·德里，第54题 “一个四边形的最接近圆的外接椭圆”）
其实，可以更一般地把问题提为：
经过四个定点的二次曲线的离心率总在一个闭区间［e0，sqrt 2］内变化。
其中根号2是当二次曲线为等轴双曲线时取到；而最小值e0是由一条特定的二次曲线所取到，我建议称它为这四点所对应的“斯坦纳二次曲线”。

在几何画板中，可按如下步骤作出这条离心率达到最小值的斯坦纳曲线：先任取其中三点构作三角形，再作第四点关于这个三角形的等角共轭点，并将它与刚才那个三角形的外心联结起来，过该等角共轭点作联线的垂线，则离心率最小的二次曲线便是这条垂线关于该三角形的等角共轭像！

dianlinchen

这是相关插图:以A、B、C为三角形作出D的等角共轭点D'，O为三角形ABC外心，连结OD'，经过点D'作OD'的垂线，该垂线上任取一点E，作出E的等角共轭点E'，当点E运动时，点E’的轨迹即为所求。