[求师] 师哥，您会作这个周长最大的△吗

watt5151

A是两同心园外一定点，
请问如何在二个园上各作B、C点，
使得△ABC的周长最大

watt5151

余美保守地估计：50小时内，也许50小时小外，师哥您是作不出这个△的 .  .

希望估计错误啦！

hejoseph

我倒是很想知道你对这个具体数值的问题你是怎么作图的：

O是两同心圆圆心，AO=2，BO=3，CO=4。

cos∠AOC满足方程-26036-74700x+195083x^2+310716x^3-741168x^4+67392x^5+601344x^6-414720x^7+82944x^8=0，其值约为-0.30258364918981057。

watt5151

hejoseph发表于2008-9-20 14:39:00我倒是很想知道你对这个具体数值的问题你是怎么作图的：O是两同心圆圆心，AO=2，BO=3，CO=4。cos∠AOC满足方程-26036-74700x+195083x^2+310716x^3-741168x^4+67392x^5+601344x^6-414720x^7+829

不明解，请详细说。

hejoseph

我的意思是，从方程上判断，这个问题一般无法使用尺规作图完成，除非你给出尺规作图法我再去验证一下。

chenjun_nj

用微分求偏导得出∠BAO=∠CAO，再往后太复杂了，没敢做。

watt5151

hejoseph发表于2008-9-20 14:39:00我倒是很想知道你对这个具体数值的问题你是怎么作图的：

有文说，三同心园上各一点组成的三角形，周长最大者将以同心为内心。但是它没有说明此三角形的作法。
能否尺规作出以同心园心为内心的三角形，各路将军请显神通吧 . .

chenjun_nj

chenjun_nj发表于2008-9-21 17:49:00用微分求偏导得出∠BAO=∠CAO，再往后太复杂了，没敢做。

既然A角的平分线过圆心，同样的分析对B、C点也适用，所以已经证明三角形的内心是圆心。

hejoseph

证明点O是周长最大的三角形的内心是很简单的。因为此时以点A、B为焦点，AC+BC为定长的椭圆与圆在点C处相切（即椭圆和圆在点C处有公切线），于是OC是椭圆的法线，所以∠ACO=∠BCO。同样以点A、C为焦点，AB+BC为定长的椭圆与圆在点B处相切（即椭圆和圆在点C处有公切线），于是OB是椭圆的法线，所以∠ABO=∠CBO。这就说明了点O是△ABC的内心。上面那个方程正是从这个结论里推导出来的。

但从上面我推导出来的方程看，这个问题是无法用尺规作图法完成的，因为那个方程无二次根式及其有限次复合的根，这个证明也太麻烦，就不写了。

watt5151

hejoseph发表于2008-9-22 8:53:00从上面我推导出来的方程看，这个问题是无法用尺规作图法完成的，因为那个方程无二次根式及其有限次复合的根，这个证明也太麻烦，就不写了。

我也算出内切园半径是三次方程的根，

看不出这个三次方程有特别可解之处，

这个问题可能无法尺规作图。留给高人去分析吧。