求作内接正三角形，满足两个三角形有相等的内切圆

chenmik

猜想：三个等内切圆，是否有尺规解？

内接三角形只能添加一个约束条件。

yimin0519

chenmik 发表于 2025-10-22 13:49
感谢yimin0519兄提供的精妙解法。目前还没想到其他的解法。

另外，可将正三角形推广到一般三角形(在可解 ...

承10楼图，试作内接三角形为非正三角形：
【通过作此图，终于弄清楚回复一楼帖子作图过程中的那个60°是怎样来的了：90-60/2=60，下图为90-74/2=53，或可直接描述成当前角的外角平分线】

局部放大：

MT9799

几天未看，居然已有各种推广了（
给一个原题的“圆曲线切”正向作法，虽然可能也不甚简单，仅供参考：
（原题图在最下面附件方便对照）

1. 作三角形ABC的内心I、等力点S，连接BI、CI；
2. 作SP⊥BC于P，由此作出等力点的垂足正三角形PQR（易知BPSQ、CPSR分别四点共圆）；
3. BI与圆BPSQ再交于J，CI与圆CPSR再交于K；
4. 作圆心为J且与PQ相切的圆，作圆心为K且与PR相切的圆（记切点为J'、K'，不难发现RJJ'共线、QKK'共线）；
5. 作圆J与圆K的靠近BC一侧的（外）公切线，与SP交于L；
6. 过L作SP的垂线（与包络抛物线相切），交BI于M，交CI于N，M、N即为所求两等内切圆的圆心，作出这两圆；
7. （B、C侧皆可，此处以C侧为例）作NU⊥CI交AC于U，再作UV⊥AC交CI于V，作圆(V, VU)；
8. 作过C、S且与圆V相切的圆（阿氏问题PPC，注意应选择离BC较远的切点W，否则最终不是正三角形）；
9. 第8步的圆与BC再交于D，与AC再交于E，D、E即为所求正三角形的两个顶点；
10. 作圆BDS，与AB再交于F，连接正三角形DEF，收工。

yimin0519

楼上的作图过程，不动原产，本位作图，精妙啊。试着改为内接任意三角形，似乎也可以啊：

后续：