[求作]正方形外一点

watt5151

watt5151发表于2008-12-14 18:08:00谁有几何作法？将复杂的计算过程隐藏在线与园的运算中！

看来有个小小代沟。
老一辈大哥精通微分变分CAD，喜欢用计算法解作图题；我们新手只有园规直尺，喜欢园与线的交叉，其实二者无冲突，各自为乐好啦。

3楼 yimin0519 算出的(PC+PD)最大值与5楼 hejoseph 算出(PC+PD)最大值与P点座标都是正确的,由P点座标作出P点是方法之一。
本题用园规直尺三下子就可以作出P点，看图列二个方程并求解，P点座标垂手可得，无需复杂计算！！

baoshisun4

我这个解法与你的想法是否相同？原理：椭圆的光学性质。

watt5151

请问有证明吗？
我要看股票的MACD ，收市后再议。

watt5151

看完股票，继续 . .

椭圆的光学性质我只知道上面那点，至于如何联系本题，未开始想。

作为交流，我的作法如下：

①作正方形ABCD的外接圆(黑)
②以黑劣弧AB的中点O为园心，以OB为半径作绿园
③取BE=(3√2)/4 ，交绿园于P点
则P为所求。

证：
①易知△PAE等腰，于是PA+PB=PE+PB=(3√2)/4 
②四边形APBC中，根据托勒密不等式得：PA·BC＋PB·AC≥PC·AB 即PC≤PA＋(√2)PB
  四边形APBD中，根据托勒密不等式也得：PD≤PB＋(√2)PA
  二式相加，有PC＋PD≤(1＋√2)(PA＋PB)=(1＋√2)(3√2/4 )=(6＋3√2)/4=定值
  说明PC+PD存在最大值。
③根据‘托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积之和不小于第三组对边的乘积，当且仅当共圆或共线时取等号’
  因为P点在黑园，所以PC+PD是最大值，完了。

 

watt5151

计算P点的座标：
①建立座标系，
②园方程  x^2+(y＋1/2)^2=1/2
  椭园方程 32x^2＋288y^2=9
③解出x=±[√(45-18√2)]/16
      y=(1＋√2)/16

baoshisun4

   我们的作法是相同的，幸会！我简单解释一下：

$由于我的作法中，/_BPC=/_CPD=/_APD=45^o$,

$故以A,B为焦点的椭圆和以C,D为焦点的椭圆相切于P点$，

故由费马的极值原理（光程取最大、最小、或相等）知P点满足要求.

（我最初学的就是物理专业）

yimin0519

Bu——Cuo！
好贴子！！