[讨论]几何作图问题3－平分面积

qjchen

近日偶遇这样一题
1. 过凸四边形上的一点E，作一直线平分这个四边形的面积（有几何做法，随着四边形的不同，有两种情况，任意作出一种即可）

2. 临时想出来的，过三角形内一点D，求作直线EF，平分三角形的面积。（不大知道有没有几何解，也不知道难否，可能与三角形形状和位置有关，有不同的解，任意作出一种即可）

附：以前曾经在
http://www.xdcad.net/forum/showthread.php?s=&threadid=459466
发过一个过一点平分一个封闭图形的小程序（不大完善，有时候会出错），题目的提出和这个有点关系。

highflybir

 

对于第２题的解法我这里提供一个思路，左边的图也可以按照这个思路来解答。

Joseflin

如限制等分線通過A和D點比較明確？

qjchen

：）第一题还是有不复杂的几何解法的，限制在A、D点与否应该不会影响解法。

highflybir

第一题的几何做法如上，第二题的几何做法估计要与圆相关了。

tqr

版主的解法很简洁。

我的解法较笨：

highflybir

这种作法对凹四边形都成立。

qjchen

在yimin0519兄的提醒下，才发现忘记发书上的解法了

此处补上

 

watt5151

qjchen发表于2007-1-2 21:22:002. 临时想出来的，过三角形内一点D，求作直线EF，平分三角形的面积。（不大知道有没有几何解，也不知道难否，可能与三角形形状和位置有关，有不同的解，任意作出一种即可）

请点击：[求作]划分△ABC的周长与面积

请参考15、16楼

watt5151

qjchen发表于2007-1-2 21:22:002. 过三角形内一点D，求作直线EF，平分三角形的面积45378

作：
①取AC的中点D
②作∠BAE=∠PAD   ∠ABE=∠APD
③作PF∥AC交AE于F
④作⊙PEF交AB于G
则由P、G所确定的直线为所求。

证：
设直线PG交AC于H
①∵△ABE∽△APD
  ∴AD×AB = AP×AE ....****
②∵△AGE∽△APH   (注意∠GEA=∠GPF=∠GHA)
  ∴AG×AH = AP×AE....####
③ 比较****和####
   可得 AG×AH=AD×AB=(1/2)×AC×AB
④ 2×△AGH面积=AG×AH×SinA=(1/2)×AC×AB×SinA=△ABC面积

完了