大矩形内接小矩形，已知小矩形一条边长，求另一条边长。

mahuan1279

飞的鱼儿 发表于 2022-9-23 15:40
是的，当年我好象是就是做到一元四次方程，解不出来了。，其实这也是来自一个应用实例，就是在一定的矩 ...

要想得到精确解，可网上搜一元四次方程求根公式。

mahuan1279

highflybird 发表于 2022-9-23 15:34
这个最后的解是一元四次方程，所以无法通过作图法实现。这个题目应该和晓东多年前的作图题类似，就是筷子放 ...

一元四次方程不是无法做图的充分条件吧，特殊的一元四次方程或许可以作图呢。

Source_Liu

你说的内接小矩形是否指大矩形每条边一个顶点的矩形，不考虑一个边有2个顶点的情况

Source_Liu

按图， 标记1—4的四个三角形黄色标记的角的角度相同，还有一个直角，因此这几个三角形成比例。考虑1和3斜边相同，三角形必定相同，因此 y2=H-y1,同理 x2=W-X1，图片更新如下

highflybird

mahuan1279 发表于 2022-9-23 16:09
一元四次方程不是无法做图的充分条件吧，特殊的一元四次方程或许可以作图呢。

嗯，不是所有的一元四次方程都无法几何作图。但这个题目的确无法几何作图。

liuhe

highflybird 发表于 2022-9-23 17:10
嗯，不是所有的一元四次方程都无法几何作图。但这个题目的确无法几何作图。

可以作图，先画里面的矩形，再画外面的矩形，用参数化作图

Source_Liu

接上图，要求的边长长度A，可以通过大矩形减4个三角新面积计算，即：A*B=W*H-三角形1的面积*2-三角形2的面积*2 --> A*B=W*H-x1*y1/2*2-(W-x1)*(H-y1)*/2*2--> A=(W*y1+H*x1-2*x1*y1)/B
上面公式有2个变量 x1、y1 需要代入，依靠下面2公式计算

1：三角形1的是直角三角形：B*B=x1*x1+y1*y1;
2:三角形1、2成比例：y1/x1=(W-x1)/(H-y1)

highflybird

这个题目我应该是有在哪儿回复过，但没查找到链接。

我把其解再贴一遍。
假设：矩形宽w,高h,小矩形一边长为b，那么如下图所示：
求出x，就可以求出小矩形的另外一边长。


关于求解一元四次方程，可以参考我的lisp程序：
【飞鸟集】一元二次，三次，四次方程求解和复数的运算（2013.1.3更新）

highflybird

这个是lisp求解示例代码：
这个解是精确解，不是迭代法。

1. (defun c:test (/ A B C D H HP L M N P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 S W X Y)
   
2.   (initget 9)
   
3.   (setq W (getdist "\n宽:"))
   
4.   (initget 9)
   
5.   (setq H (getdist "\n高:"))
   
6.   (initget 9)
   
7.   (setq L (getdist "\n边:"))
   
8.   (setq m (/ W L))
   
9.   (setq n (/ H L))
   
10.   (setq A (* -4 n))
    
11.   (setq B (+ (* n n) (* m m) -4))
    
12.   (setq C (+ n n))
    
13.   (setq D (- 1 (* m m)))
    
14. 
    
15.   (setq S nil)
    
16.   (foreach n (Math:quartic_Equation 4 A B C D)
    
17.     (setq x (car n))
    
18.     (setq y (cadr n))
    
19.     (if  (and (equal y 0 1e-6) (> x 0))
    
20.       (setq s (cons (* x L) s))
    
21.     )
    
22.   )
    
23.   (princ "\n解是:")
    
24.   (princ s)
    
25.   (initget 9)
    
26.   (setq HP (* 0.5 pi))
    
27.   (setq p0 (getpoint "\n插入点:"))
    
28.   (setq p1 (polar p0 pi W))
    
29.   (setq p2 (polar p0 HP H))
    
30.   (setq p3 (polar p2 pi W))
    
31.   (Ent:Make_LWPoly (list p0 p1 p3 p2) T)
    
32.   (foreach x S
    
33.     (setq y (sqrt (- (* L L) (* x x))))
    
34.     (setq p4 (polar p0 HP x))
    
35.     (setq p5 (polar p0 pi y))
    
36.     (setq p6 (polar p3 HP (- x)))
    
37.     (setq p7 (polar p3 0 y))
    
38.     (Ent:Make_LWPoly (list p4 p5 p6 p7) T)
    
39.   )
    
40.   (princ)
    
41. )
    
42. 
    
43. (defun Ent:Make_LWPoly (pts closed /)
    
44.   (entmakeX                                             
    
45.     (vl-list*
    
46.       '(0 . "LWPOLYLINE")
    
47.       '(100 . "AcDbEntity")
    
48.       '(100 . "AcDbPolyline")
    
49.       (cons 90 (length pts))                                        ;顶点个数
    
50.       (cons 70 (if closed 1 0))                                        ;闭合的
    
51.       (mapcar (function (lambda (x) (cons 10 x))) pts)          ;多段线顶点
    
52.     )
    
53.   )
    
54. )
    
55. 
    

(defun c:test (/ A B C D H HP L M N P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 S W X Y)<br />   (initget 9)<br />   (setq W (getdist "\n宽:"))<br />   (initget 9)<br />   (setq H (getdist "\n高:"))<br />   (initget 9)<br />   (setq L (getdist "\n边:"))<br />   (setq m (/ W L))<br />   (setq n (/ H L))<br />   (setq A (* -4 n))<br />   (setq B (+ (* n n) (* m m) -4))<br />   (setq C (+ n n))<br />   (setq D (- 1 (* m m)))<br /> <br />   (setq S nil)<br />   (foreach n (Math:quartic_Equation 4 A B C D)<br />     (setq x (car n))<br />     (setq y (cadr n))<br />     (if  (and (equal y 0 1e-6) (> x 0))<br />       (setq s (cons (* x L) s))<br />     )<br />   )<br />   (princ "\n解是:")<br />   (princ s)<br />   (initget 9)<br />   (setq HP (* 0.5 pi))<br />   (setq p0 (getpoint "\n插入点:"))<br />   (setq p1 (polar p0 pi W))<br />   (setq p2 (polar p0 HP H))<br />   (setq p3 (polar p2 pi W))<br />   (Ent:Make_LWPoly (list p0 p1 p3 p2) T)<br />   (foreach x S<br />     (setq y (sqrt (- (* L L) (* x x))))<br />     (setq p4 (polar p0 HP x))<br />     (setq p5 (polar p0 pi y))<br />     (setq p6 (polar p3 HP (- x)))<br />     (setq p7 (polar p3 0 y))<br />     (Ent:Make_LWPoly (list p4 p5 p6 p7) T)<br />   )<br />   (princ)<br /> )<br /> <br /> (defun Ent:Make_LWPoly (pts closed /)<br />   (entmakeX                                              <br />     (vl-list* <br />       '(0 . "LWPOLYLINE")<br />       '(100 . "AcDbEntity")<br />       '(100 . "AcDbPolyline")<br />       (cons 90 (length pts))                                        ;顶点个数<br />       (cons 70 (if closed 1 0))                                        ;闭合的<br />       (mapcar (function (lambda (x) (cons 10 x))) pts)          ;多段线顶点<br />     )<br />   )<br /> )<br /> <br />

mahuan1279

highflybird 发表于 2022-9-23 19:14
这个是lisp求解示例代码：
这个解是精确解，不是迭代法。

形如X^4+a*X^2+b*X+c=0（X有正实数根），可以几何作图吗？