作一条直线，求思路

liuhe · 发表于 2025-7-17 14:01:18

1，曲线xmin，xmax范围，YMIN,YMAX ,求Y轴最高点P1
2，以P1为圆心，生成直线+1°旋转360份，如果红色的线都在曲线上面，则记录在进长度表
3.在长度表中，求那个最小的长度，并读取所在的旋转角度ang，以这个ang为中心，进行二分法继续旋转ang+fuzz，直到满足精度要求，EQUAL len1 LEN2 为T

mahuan1279 · 发表于 2025-7-17 15:42:47

liuhe 发表于 2025-7-17 14:01
1，曲线xmin，xmax范围，YMIN,YMAX ,求Y轴最高点P1
2，以P1为圆心，生成直线+1°旋转360份，如果红色的线 ...

不一定是过最高点P1吧？看具体数据情况。

韩飞翔 · 发表于 2025-7-18 15:26:05

我认为找到黄线的最高的两个波峰；沿两个波峰；做射线，这个线应该就是最短线吧

mahuan1279 · 发表于 2025-7-20 16:38:22

本帖最后由 mahuan1279 于 2025-7-20 16:43 编辑

找关键的凸包点。

highflybird · 发表于 2025-7-21 12:21:28

把问题喂给AI ,先看看gemini的回答：

设给定N个点(x1,y1) (x2,y2) ......(xn,yn), 试着找出一条直线y =kx+b, 要求确保直线在这些点的上方，即对于每一点，dy= y - yn >=0，由此形成的y的差值之和最小，即 dy1+dy2+.....dyn 最小。

好的，这是一个非常有趣的数学优化问题。您描述的问题可以被精确地定义和解决。从本质上讲，这是一个线性规划 (Linear Programming) 问题。

下面我将为您详细解释这个问题的数学模型、几何直觉以及求解方法。

1. 数学模型 (Mathematical Formulation)

我们要寻找两个变量：直线的斜率 k 和截距 b。

目标函数 (Objective Function):
我们的目标是最小化所有点到直线的垂直距离（差值）之和。
设 $dy_i = (k \cdot x_i + b) - y_i$。
我们要最小化 $Z = \sum_{i=1}^{n} dy_i$。
展开后，目标函数是：
$Z = \sum_{i=1}^{n} (k \cdot x_i + b - y_i) = k \sum_{i=1}^{n} x_i + n \cdot b - \sum_{i=1}^{n} y_i$

约束条件 (Constraints):
核心要求是直线必须在所有给定点的上方（或穿过这些点）。
对于每一个点 $(x_i, y_i)$，都必须满足：
$k \cdot x_i + b \ge y_i$

综上所述，这是一个标准的线性规划问题：

决策变量 (Decision Variables): $k, b$
目标 (Objective): 最小化 $Z = k(\sum x_i) + b(n) - (\sum y_i)$
约束 (Constraints): $k \cdot x_i + b \ge y_i$ 对于所有 $i = 1, \dots, n$

2. 几何直觉与核心洞察 (Geometric Intuition)

想象一下这些点在二维平面上的分布。我们要找的这条线 y = kx + b 必须位于所有这些点的上方。

现在，考虑这些点的凸包 (Convex Hull)。凸包是一个包含所有点的最小凸多边形。任何位于所有点上方的直线，也必然位于这个. 数学模型 (Mathematical Formulation)

我们要寻找两个变量：直线的斜率 k 和截距 b。

目标函数 (Objective Function):
我们的目标是最小化所有点到直线的垂直距离（差值）之和。
设 $dy_i = (k \cdot x_i + b) - y_i$。
我们要最小化 $Z = \sum_{i=1}^{n} dy_i$。
展开后，目标函数是：
$Z = \sum_{i=1}^{n} (k \cdot x_i + b - y_i) = k \sum_{i=1}^{n} x_i + n \cdot b - \sum_{i=1}^{n} y_i$

约束条件 (Constraints):
核心要求是直线必须在所有给定点的上方（或穿过这些点）。
对于每一个点 $(x_i, y_i)$，都必须满足：
$k \cdot x_i + b \ge y_i$

综上所述，这是一个标准的线性规划问题：

决策变量 (Decision Variables): $k, b$
目标 (Objective): 最小化 $Z = k(\sum x_i) + b(n) - (\sum y_i)$
约束 (Constraints): $k \cdot x_i + b \ge y_i$ 对于所有 $i = 1, \dots, n$

2. 几何直觉与核心洞察 (Geometric Intuition)

想象一下这些点在二维平面上的分布。我们要找的这条线 y = kx + b 必须位于所有这些点的上方。

现在，考虑这些点的凸包 (Convex Hull)。凸包是一个包含所有点的最小凸多边形。任何位于所有点上方的直线，也必然位于这个凸包的上方。

一个关键的洞察是：最优解（即总差值最小的直线）必然会穿过至少两个原始数据点。

为什么？
假设最优的直线 L 只穿过了一个点 P（或者一个点也没穿过）。那么我们总可以轻微地向下“旋转”或“平移”这条直线，直到它碰到另一个点 Q。在这个过程中，直线仍然在所有点的上方，但它到每个点的垂直距离 $dy_i$ 都在减小（或不变），因此总距离和 $Z$ 必然会减小。只有当直线被至少两个点“卡住”，无法再向下移动时，才可能达到最优。

这两个“卡住”直线的点，必然是凸包的顶点。更具体地说，这条最优直线就是由凸包的上链 (Upper Chain) 的某一条边所确定的。

3. 求解算法 (Solution Algorithm)

基于上述的几何洞察，我们可以设计一个高效的算法，而无需使用通用的线性规划求解器：

计算凸包： 对给定的 N 个点 $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$，计算它们的凸包。有多种标准算法可以实现，例如 Graham扫描法或 Monotone Chain 算法。
识别上链： 从凸包的顶点中，找出构成“上层”边界的边。这些边的特征是，整个点集都位于它们的下方。
检验每条上链边：
- 对于上链中的每一条边（由两点 $(x_a, y_a)$ 和 $(x_b, y_b)$ 定义），计算穿过这两点的直线方程 y = kx + b。
  - 斜率 $k = \frac{y_b - y_a}{x_b - x_a}$
  - 截距 $b = y_a - k \cdot x_a$
- 对于这条候选直线，计算总差值和 $Z = \sum_{i=1}^{n} (k \cdot x_i + b - y_i)$。
找到最优解： 在所有候选直线中，那个使得总差值和 Z 最小的直线，就是最终的解。

4. 举例说明

假设我们有三个点: **A(1, 3), B(3, 4), C(5A(1, 3), B(3, 4), C(5, 1).

凸包： 这三个点本身就构成一个凸包（一个三角形）。
**上上链： 我们可以看到，边 AB 和边 BC 构成了凸包的上链。
- 边 AC 在下方，所以不考虑
上链： 我们可以看到，边 AB 和边 BC 构成了凸包的上链。
- 边 AC 在下方，所以不考虑。
检验候选直线：
- **候选1：穿过 A(1, 3) 和 B(3,候选1：穿过 A(1, 3) 和 B(3, 4) 的直线
  - $k = (4 - 3) / (3 - 1) = 0.5$
  - $b = 3 - 0.5 \cdot 1 = 2.5$
  - 直线方程为: $y = 0.5x + 2.5$
  - 检验约束：这条线一定在 A 和 B 上方（实际是穿过）。对于 C(5, 1)，$0.5 \cdot 5 + 2.5 = 5$，而 $5 \ge 1$，所以约束满足。
  - 计算总差值 Z1:
    - dy_A = (0.5 * 1 + 2.5) - 3 = 0
    - dy_B = (0.5 * 3 + 2.5) - 4 = 0
    - dy_C = (0.5 * 5 + 2.5) - 1 = 4
    - $Z_1
  - $k = (4 - 3) / (3 - 1) = 0.5$
  - $b = 3 - 0.5 \cdot 1 = 2.5$
  - 直线方程为: $y = 0.5x + 2.5$
  - 检验约束：这条线一定在 A 和 B 上方（实际是穿过）。对于 C(5, 1)，$0.5 \cdot 5 + 2.5 = 5$，而 $5 \ge 1$，所以约束满足。
  - 计算总差值 Z1:
    - dy_A = (0.5 * 1 + 2.5) - 3 = 0
    - dy_B = (0.5 * 3 + 2.5) - 4 = 0
    - dy_C = (0.5 * 5 + 2.5) - 1 = 4
    - $Z_1 = 0 + 0 + 4 = 4$
- **候选2：穿过 B(3, 4) 和 C候选2：穿过 B(3, 4) 和 C(5, 1) 的直线
  - $k = (1 - 4) / (5 - 3) = -1.5$
  - $b = 4 - (-1.5) \cdot 3 = 8.5$
  - 直线方程为: $y = -1.5x + 8.5$
  - 检验约束：对于 A(1, 3)，$-1.5 \cdot 1 + 8.5 = 7$，而 $7 \ge 3$，所以约束满足。
  - 计算总差值 Z2:
    - dy_A = (-1.5 * 1 + 8.5) - 3 = 4
    - dy_B = (-1.5 * 3 + 8.5) - 4 = 0
    - dy_C = (-1.5 * 5 + 8.5) - 1 = 0
    - $Z_2 = 4 + 0 + 0 = 4$
比较结果： 在这个特殊的例子中，$Z_1 = Z_2 = 4$。这意味着有多个最优解。直线 $y = 0.5x + 2.5$ 和 $y = -1.5x + 8.5$ 都是符合要求的解。任何这两条线之间的“加权平均”线也是最优解。

总结

您提出的问题可以被建模为一个线性规划问题。通过利用问题的几何特性，即最优解一定由输入点集的凸包的上链边所定义，我们可以将问题简化为：计算凸包，并逐一测试上链的每条边所定义的直线，最终选取总差值和最小的那一条。这种方法比通用的线性规划求解器更直观且针对性更强。

可以在时间复杂度O(n*log(n))或者更优的情况下求解么？该如何优化？

[size=16.002px]我们需要找到一条直线 y=kx+by=kx+b 满足：

[size=16.002px]对于所有给定的点 (xi,yi)(xi,yi)，有 kxi+b≥yikxi+b≥yi（直线在点上方或通过点）。
[size=16.002px]在所有满足上述条件的直线中，选择使得 ∑i=1n(kxi+b−yi)∑i=1n(kxi+b−yi) 最小的那条。

初始算法的时间复杂度

[size=16.002px]初始的算法是通过枚举所有点对来计算可能的 kk 和 bb，然后验证并选择最优解。由于有 O(n2)O(n2) 个点对，因此时间复杂度为 O(n3)O(n3)（因为对于每个点对，计算 bb 需要 O(n)O(n) 时间来计算最大值）。这显然不够高效。

优化思路

[size=16.002px]我们需要找到一种方法，避免枚举所有点对，从而降低时间复杂度。可以考虑以下方向：

[size=16.002px]凸包（Convex Hull）：在几何中，凸包是包含所有点的最小凸集。上包络（Upper Envelope）是凸包的一部分，可能与我们的问题相关。
[size=16.002px]线性规划（Linear Programming）：可以将问题表述为线性规划问题，利用高效的线性规划算法求解。
[size=16.002px]对偶问题（Dual Problem）：可能通过将原问题转化为对偶问题来简化求解。
[size=16.002px]斜率优化：类似于一些动态规划中的斜率优化技巧，可能可以应用在这里。

线性规划表述

[size=16.002px]将问题表述为线性规划：

[size=16.002px]变量：kk, bb
[size=16.002px]目标：最小化 ∑(kxi+b−yi)=k∑xi+nb−∑yi∑(kxi+b−yi)=k∑xi+nb−∑yi
[size=16.002px]约束：kxi+b≥yikxi+b≥yi 对所有 ii

[size=16.002px]这是一个具有两个变量和 nn 个约束的线性规划问题。对于低维线性规划（如二维），存在 O(n)O(n) 时间的算法（如 Megiddo 的算法或随机化算法）。

利用几何性质

[size=16.002px]观察到：

[size=16.002px]约束 kxi+b≥yikxi+b≥yi 可以重写为 b≥−kxi+yib≥−kxi+yi。
[size=16.002px]对于固定的 kk，最小的 bb 满足所有约束的是 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi)。
[size=16.002px]因此，目标函数为 kSx+nmax⁡i(yi−kxi)−SykSx+nmaxi(yi−kxi)−Sy，其中 Sx=∑xiSx=∑xi, Sy=∑yiSy=∑yi。
[size=16.002px]我们需要最小化 f(k)=kSx+nmax⁡i(yi−kxi)f(k)=kSx+nmaxi(yi−kxi)。

[size=16.002px]函数 f(k)f(k) 是凸的，因为 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 是凸的（作为线性函数的逐点最大值），而 kSxkSx 是线性的，因此 f(k)f(k) 是凸的。凸函数的最小值可以通过三分搜索或其他凸优化方法找到。

三分搜索

[size=16.002px]由于 f(k)f(k) 是凸的，可以在 kk 的可能范围内进行三分搜索来找到最小值。具体步骤：

[size=16.002px]确定 kk 的搜索范围 [kmin,kmax][kmin,kmax]：
- [size=16.002px]kminkmin 可以是最小可能的斜率（如负无穷或从点对计算的最小斜率）。
- [size=16.002px]kmaxkmax 可以是最大可能的斜率（如正无穷或从点对计算的最大斜率）。
[size=16.002px]在每一步，选择两个中间点 k1k1 和 k2k2，计算 f(k1)f(k1) 和 f(k2)f(k2)：
- [size=16.002px]如果 f(k1)<f(k2)f(k1)<f(k2)，最小值在 [kmin,k2][kmin,k2]。
- [size=16.002px]否则，最小值在 [k1,kmax][k1,kmax]。
[size=16.002px]重复直到 kk 的范围足够小。

[size=16.002px]每次计算 f(k)f(k) 需要 O(n)O(n) 时间（计算 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi)），三分搜索需要 O(log⁡(kmax−kmin)/ϵ)O(log(kmax−kmin)/ϵ) 次迭代，因此总时间为 O(nlog⁡(1/ϵ))O(nlog(1/ϵ))。

计算 [size=1.21em]bb

[size=16.002px]对于最优的 kk，计算 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi)。

验证最优性

[size=16.002px]最优解必须满足至少两个点 (xi,yi)(xi,yi) 和 (xj,yj)(xj,yj) 在直线上（即 kxi+b=yikxi+b=yi 和 kxj+b=yjkxj+b=yj），否则可以调整 kk 和 bb 进一步减小目标函数。因此，三分搜索找到的 kk 会对应于两个点“支撑”的直线。

可能的优化

[size=16.002px]如果能够快速计算 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 的“支撑”点（即决定最大值的点），可以进一步优化。这类似于凸包的上包络问题。

最终优化算法

[size=16.002px]结合以上思路，以下是优化后的算法：

[size=16.002px]预处理：
- [size=16.002px]计算 Sx=∑xiSx=∑xi, Sy=∑yiSy=∑yi。
[size=16.002px]三分搜索：
- [size=16.002px]初始化 kk 的搜索范围（可以通过点对的最小和最大斜率确定）。
- [size=16.002px]进行三分搜索，每次计算 f(k)=kSx+nmax⁡i(yi−kxi)f(k)=kSx+nmaxi(yi−kxi)：
  - [size=16.002px]对于给定的 kk，计算 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi)。
  - [size=16.002px]计算 f(k)f(k)。
- [size=16.002px]根据 f(k1)f(k1) 和 f(k2)f(k2) 的比较缩小搜索范围。
[size=16.002px]确定最优 kk 和 bb：
- [size=16.002px]当 kk 收敛时，计算 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi)。
- [size=16.002px]验证至少两个点在直线上（确保最优性）。

时间复杂度

[size=16.002px]三分搜索：O(log⁡(1/ϵ))O(log(1/ϵ)) 次迭代。
[size=16.002px]每次迭代计算 f(k)f(k)：O(n)O(n)。
[size=16.002px]总时间：O(nlog⁡(1/ϵ))O(nlog(1/ϵ))。

[size=16.002px]这是比初始的 O(n3)O(n3) 算法显著的优化。

示例验证

[size=16.002px]考虑之前的例子：点 (1,1), (2,2), (3,2)。

[size=16.002px]Sx=6Sx=6, Sy=5Sy=5.
[size=16.002px]可能的斜率范围：从点对计算的最小和最大斜率：
- [size=16.002px](1,1)-(2,2): k=1k=1
- [size=16.002px](1,1)-(3,2): k=0.5k=0.5
- [size=16.002px](2,2)-(3,2): k=0k=0
  可以选择 k∈[0,1]k∈[0,1].

[size=16.002px]进行三分搜索：

[size=16.002px]kmin=0kmin=0, kmax=1kmax=1.
- [size=16.002px]k1=1/3k1=1/3, k2=2/3k2=2/3.
- [size=16.002px]计算 f(1/3)f(1/3):
  - [size=16.002px]yi−(1/3)xiyi−(1/3)xi: (1 - 1/3 = 2/3), (2 - 2/3 = 4/3), (2 - 1 = 1).
  - [size=16.002px]max⁡=4/3max=4/3, b=4/3b=4/3.
  - [size=16.002px]f(1/3)=(1/3)∗6+3∗(4/3)−5=2+4−5=1f(1/3)=(1/3)∗6+3∗(4/3)−5=2+4−5=1.
- [size=16.002px]计算 f(2/3)f(2/3):
  - [size=16.002px]yi−(2/3)xiyi−(2/3)xi: (1 - 2/3 = 1/3), (2 - 4/3 = 2/3), (2 - 2 = 0).
  - [size=16.002px]max⁡=2/3max=2/3, b=2/3b=2/3.
  - [size=16.002px]f(2/3)=(2/3)∗6+3∗(2/3)−5=4+2−5=1f(2/3)=(2/3)∗6+3∗(2/3)−5=4+2−5=1.
- [size=16.002px]f(1/3)=f(2/3)f(1/3)=f(2/3), 可以任意选择一半。选择左半 [0,2/3][0,2/3].
[size=16.002px]kmin=0kmin=0, kmax=2/3kmax=2/3.
- [size=16.002px]k1=2/9k1=2/9, k2=4/9k2=4/9.
- [size=16.002px]计算 f(2/9)f(2/9):
  - [size=16.002px]yi−(2/9)xiyi−(2/9)xi: (1 - 2/9 = 7/9), (2 - 4/9 = 14/9), (2 - 6/9 = 12/9).
  - [size=16.002px]max⁡=14/9max=14/9, b=14/9b=14/9.
  - [size=16.002px]f(2/9)=(2/9)∗6+3∗(14/9)−5=12/9+42/9−45/9=9/9=1f(2/9)=(2/9)∗6+3∗(14/9)−5=12/9+42/9−45/9=9/9=1.
- [size=16.002px]计算 f(4/9)f(4/9):
  - [size=16.002px]yi−(4/9)xiyi−(4/9)xi: (1 - 4/9 = 5/9), (2 - 8/9 = 10/9), (2 - 12/9 = 6/9).
  - [size=16.002px]max⁡=10/9max=10/9, b=10/9b=10/9.
  - [size=16.002px]f(4/9)=(4/9)∗6+3∗(10/9)−5=24/9+30/9−45/9=9/9=1f(4/9)=(4/9)∗6+3∗(10/9)−5=24/9+30/9−45/9=9/9=1.
- [size=16.002px]仍然 f(k)=1f(k)=1，可能需要更精确的搜索或观察到最小值为 1。

[size=16.002px]实际上，最优解为 k=0.5k=0.5, b=1b=1, f(k)=1f(k)=1。

进一步优化

[size=16.002px]如果能够快速确定哪些点决定了 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi)，可以避免每次计算所有点。这类似于维护上凸包（Upper Convex Hull）。对于固定的 kk，yi−kxiyi−kxi 是点 (xi,yi)(xi,yi) 在方向 (k,−1)(k,−1) 上的“高度”，最大值对应于上凸包上的点。

[size=16.002px]因此，可以：

[size=16.002px]计算所有点的上凸包。
[size=16.002px]在三分搜索中，对于给定的 kk，在上凸包上找到最大化 yi−kxiyi−kxi 的点。

[size=16.002px]计算上凸包的时间为 O(nlog⁡n)O(nlogn)，然后每次查询可以在 O(log⁡n)O(logn) 时间内完成（因为上凸包上的点按 xx 排序，且 yi−kxiyi−kxi 的最大值可以通过二分或类似方法找到）。

[size=16.002px]因此，总时间可以优化为：

[size=16.002px]预处理（上凸包）：O(nlog⁡n)O(nlogn)。
[size=16.002px]三分搜索：O(log⁡(1/ϵ))O(log(1/ϵ)) 次迭代，每次 O(log⁡n)O(logn)。
[size=16.002px]总时间：O(nlog⁡n+log⁡(1/ϵ)log⁡n)O(nlogn+log(1/ϵ)logn)。

[size=16.002px]对于大多数情况，log⁡(1/ϵ)log(1/ϵ) 是常数，因此可以视为 O(nlog⁡n)O(nlogn)。

最优算法步骤

[size=16.002px]计算上凸包：
- [size=16.002px]使用 Andrew's monotone chain 算法或其他凸包算法计算上凸包（按 xx 排序，保留上凸部分）。
[size=16.002px]三分搜索：
- [size=16.002px]初始化 kk 的范围（如从凸包的最左和最右点计算斜率）。
- [size=16.002px]进行三分搜索，每次查询上凸包找到 max⁡(yi−kxi)max(yi−kxi)：
  - [size=16.002px]在上凸包上，yi−kxiyi−kxi 是凸的，因此最大值可以在 O(log⁡n)O(logn) 时间内找到。
- [size=16.002px]根据 f(k)f(k) 的值调整搜索范围。
[size=16.002px]确定最优解：
- [size=16.002px]当 kk 收敛时，计算 b=max⁡(yi−kxi)b=max(yi−kxi)。
- [size=16.002px]对应的直线 y=kx+by=kx+b 即为所求。

时间复杂度

[size=16.002px]计算上凸包：O(nlog⁡n)O(nlogn)。
[size=16.002px]三分搜索：O(log⁡(1/ϵ)log⁡n)O(log(1/ϵ)logn)。
[size=16.002px]总时间：O(nlog⁡n)O(nlogn)（主导项）。

总结

[size=16.002px]通过将问题转化为凸优化问题，并利用上凸包的性质，可以将时间复杂度从 O(n3)O(n3) 优化到 O(nlog⁡n)O(nlogn)。具体步骤如下：

[size=16.002px]计算给定点的上凸包。
[size=16.002px]使用三分搜索在上凸包上寻找最优斜率 kk。
[size=16.002px]对于每个测试的 kk，在上凸包上快速找到 max⁡(yi−kxi)max(yi−kxi)。
[size=16.002px]确定最优的 kk 和 bb，使得 ∑(kxi+b−yi)∑(kxi+b−yi) 最小。

[size=16.002px]这种方法高效且适用于大规模数据。

highflybird · 发表于 2025-7-21 12:23:47

再看看deepseek的回答：

设给定N个点(x1,y1) (x2,y2) ......(xn,yn), 试着找出一条直线y =kx+b, 要求确保直线在这些点的上方，即对于每一点，dy= y - yn >=0，由此形成的y的差值之和最小，即 dy1+dy2+.....dyn 最小。

问题重述

[size=16.002px]给定N个点 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，我们需要找到一条直线 y=kx+by=kx+b 满足：

[size=16.002px]对于所有的点，直线在该点的上方或刚好通过该点，即对于每一个点 (xi,yi)(xi,yi)，有：
dyi=(kxi+b)−yi≥0dyi=(kxi+b)−yi≥0
[size=16.002px]在所有满足上述条件的直线中，选择使得所有 dyidyi 的和最小的那条直线，即最小化：
∑i=1ndyi=∑i=1n(kxi+b−yi)i=1∑ndyi=i=1∑n(kxi+b−yi)

理解问题

[size=16.002px]首先，我们需要明确几个要点：

[size=16.002px]直线的位置限制：直线 y=kx+by=kx+b 必须在所有点的上方或刚好通过某些点。这意味着对于每个点，kxi+b≥yikxi+b≥yi。
[size=16.002px]目标函数：我们需要最小化所有 dyidyi 的和，即 ∑(kxi+b−yi)∑(kxi+b−yi)。

数学表达

[size=16.002px]将问题用数学语言表达：

[size=16.002px]最小化：

[size=16.002px]∑i=1n(kxi+b−yi)i=1∑n(kxi+b−yi)

[size=16.002px]约束条件：

[size=16.002px]kxi+b≥yi∀i=1,…,nkxi+b≥yi∀i=1,…,n

简化目标函数

[size=16.002px]首先，我们可以将目标函数展开：

[size=16.002px]∑i=1n(kxi+b−yi)=k∑i=1nxi+nb−∑i=1nyii=1∑n(kxi+b−yi)=ki=1∑nxi+nb−i=1∑nyi

[size=16.002px]令：

[size=16.002px]Sx=∑i=1nxi,Sy=∑i=1nyiSx=i=1∑nxi,Sy=i=1∑nyi

[size=16.002px]则目标函数可以表示为：

[size=16.002px]kSx+nb−SykSx+nb−Sy

[size=16.002px]注意到 SxSx 和 SySy 是常数（由给定的点决定），因此最小化 kSx+nbkSx+nb 就等同于最小化 kSx+nb−SykSx+nb−Sy。

约束条件

[size=16.002px]约束条件可以重写为：

[size=16.002px]kxi+b≥yi∀ikxi+b≥yi∀i

[size=16.002px]即：

[size=16.002px]b≥yi−kxi∀ib≥yi−kxi∀i

[size=16.002px]这意味着对于每一个 ii，bb 必须至少为 yi−kxiyi−kxi。为了满足所有不等式，bb 必须至少是所有 yi−kxiyi−kxi 的最大值：

[size=16.002px]b≥max⁡i(yi−kxi)b≥imax(yi−kxi)

[size=16.002px]为了最小化 kSx+nbkSx+nb，我们希望在满足上述不等式的情况下，选择尽可能小的 bb。因此，最优的 bb 应该是：

[size=16.002px]b=max⁡i(yi−kxi)b=imax(yi−kxi)

代入最优 [size=1.21em]bb

[size=16.002px]将 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi) 代入目标函数：

[size=16.002px]kSx+nmax⁡i(yi−kxi)kSx+nimax(yi−kxi)

[size=16.002px]现在，我们需要最小化这个关于 kk 的表达式：

[size=16.002px]f(k)=kSx+nmax⁡i(yi−kxi)f(k)=kSx+nimax(yi−kxi)

寻找最优 [size=1.21em]kk

[size=16.002px]为了找到最小化 f(k)f(k) 的 kk，可以考虑以下几点：

[size=16.002px]max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 的性质：这是一个关于 kk 的分段线性凸函数。具体来说，对于固定的 kk，yi−kxiyi−kxi 是 kk 的线性函数，取最大值意味着 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 是这些线性函数的上包络，因此是凸的。
[size=16.002px]f(k)f(k) 的性质：f(k)f(k) 是 kSxkSx 加上 nn 倍的凸函数，因此 f(k)f(k) 也是凸的。凸函数的最小值可以通过寻找导数为零的点或通过其他凸优化方法找到。
[size=16.002px]寻找极值点：由于 f(k)f(k) 是凸的，其最小值出现在导数为零的点（如果可导）或导数变化的地方。

[size=16.002px]为了更具体地找到 kk，可以考虑以下几点：

[size=16.002px]对于每一个点 ii，yi−kxiyi−kxi 是 kk 的线性函数。
[size=16.002px]max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 的“转折点”发生在两个线性函数的交点处，即当 yi−kxi=yj−kxjyi−kxi=yj−kxj 时：
yi−yj=k(xi−xj)  ⟹  k=yi−yjxi−xj如果xi≠xjyi−yj=k(xi−xj)⟹k=xi−xjyi−yj如果xi=xj
[size=16.002px]这些 kk 的值是潜在的“关键点”，在这些点上 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 的“主导”点发生变化。

最优解的性质

[size=16.002px]可以观察到，最优解 (k,b)(k,b) 必须满足：

[size=16.002px]至少有一个点 (xj,yj)(xj,yj) 严格满足 kxj+b=yjkxj+b=yj（即 dyj=0dyj=0），否则我们可以将 bb 减小一点，同时仍然满足所有约束，并减小目标函数。
[size=16.002px]更准确地说，最优解通常会有两个点 (xj,yj)(xj,yj) 和 (xl,yl)(xl,yl) 满足 kxj+b=yjkxj+b=yj 和 kxl+b=ylkxl+b=yl，除非所有点共线（此时可以找到一条直线通过所有点，即所有 dyi=0dyi=0）。

[size=16.002px]这是因为 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi) 通常由两个点决定（类似于线性规划中的基本可行解）。

求解方法

[size=16.002px]基于以上观察，可以采取以下步骤：

[size=16.002px]枚举点对：对于所有点对 (xi,yi)(xi,yi) 和 (xj,yj)(xj,yj) 且 xi≠xjxi=xj，计算：
k=yi−yjxi−xjk=xi−xjyi−yj
[size=16.002px]然后计算：
b=max⁡l(yl−kxl)b=lmax(yl−kxl)
[size=16.002px]检查是否 (xi,yi)(xi,yi) 和 (xj,yj)(xj,yj) 都满足 kx+b=ykx+b=y（即它们都在直线上）。如果是，计算目标函数 kSx+nb−SykSx+nb−Sy。
[size=16.002px]选择最优解：在所有满足条件的 (k,b)(k,b) 中，选择使目标函数最小的那个。
[size=16.002px]处理垂直线：如果存在 xi=xjxi=xj 的点对，需要考虑 kk 为无穷大的情况（即垂直线）。但在我们的直线形式 y=kx+by=kx+b 中，这对应于 kk 非常大或非常小。实际上，如果所有 xixi 相同，问题退化为选择 b≥max⁡yib≥maxyi，此时 kk 可以任意（因为 xixi 相同，kk 不影响 dyidyi）。

为什么这种方法有效

[size=16.002px]因为最优解必须由至少两个点“支撑”（即这两个点在直线上），否则我们可以调整 kk 和 bb 以进一步减小目标函数。因此，通过枚举所有可能的点对，我们可以找到所有可能的“候选”直线，然后从中选择最优的。

示例

[size=16.002px]假设有以下三个点：

[size=16.002px](1, 1)
[size=16.002px](2, 2)
[size=16.002px](3, 2)

[size=16.002px]步骤1：计算所有点对的 kk 和 bb

[size=16.002px]点对 (1,1) 和 (2,2):
k=2−12−1=1k=2−12−1=1
[size=16.002px]计算 b=max⁡(yi−kxi)b=max(yi−kxi):
- [size=16.002px]对于 (1,1): 1−1×1=01−1×1=0
- [size=16.002px]对于 (2,2): 2−1×2=02−1×2=0
- [size=16.002px]对于 (3,2): 2−1×3=−12−1×3=−1
  所以 b=0b=0
  检查：(1,1) 和 (2,2) 都在直线上 y=x+0y=x+0
  目标函数：
kSx+nb−Sy=1×(1+2+3)+3×0−(1+2+2)=6−5=1kSx+nb−Sy=1×(1+2+3)+3×0−(1+2+2)=6−5=1
[size=16.002px]点对 (1,1) 和 (3,2):
k=2−13−1=0.5k=3−12−1=0.5
[size=16.002px]计算 bb:
- [size=16.002px](1,1): 1−0.5×1=0.51−0.5×1=0.5
- [size=16.002px](2,2): 2−0.5×2=12−0.5×2=1
- [size=16.002px](3,2): 2−0.5×3=0.52−0.5×3=0.5
  所以 b=1b=1
  检查：(1,1) 不在直线上 y=0.5x+1y=0.5x+1（因为 0.5×1+1=1.5≠10.5×1+1=1.5=1），所以这个点对不满足两个点都在直线上。
[size=16.002px]点对 (2,2) 和 (3,2):
k=2−23−2=0k=3−22−2=0
[size=16.002px]计算 bb:
- [size=16.002px](1,1): 1−0×1=11−0×1=1
- [size=16.002px](2,2): 2−0×2=22−0×2=2
- [size=16.002px](3,2): 2−0×3=22−0×3=2
  所以 b=2b=2
  检查：(2,2) 和 (3,2) 都在直线上 y=0x+2y=0x+2
  目标函数：
0×6+3×2−5=6−5=10×6+3×2−5=6−5=1

[size=16.002px]步骤2：比较

[size=16.002px]我们有两个候选解：

[size=16.002px]k=1,b=0k=1,b=0, 目标函数 = 1
[size=16.002px]k=0,b=2k=0,b=2, 目标函数 = 1

[size=16.002px]两者目标函数相同，因此可以选择其中任意一个。例如，选择 y=xy=x。

[size=16.002px]验证：

[size=16.002px]对于 (1,1): 1×1+0=1≥11×1+0=1≥1, dy=0dy=0
[size=16.002px]对于 (2,2): 1×2+0=2≥21×2+0=2≥2, dy=0dy=0
[size=16.002px]对于 (3,2): 1×3+0=3≥21×3+0=3≥2, dy=1dy=1
总和：0+0+1=10+0+1=1

更优的解？

[size=16.002px]让我们看看是否可以找到更小的总和。假设选择 k=0.5k=0.5, b=1b=1:

[size=16.002px]直线 y=0.5x+1y=0.5x+1
[size=16.002px]对于 (1,1): 0.5×1+1=1.5≥10.5×1+1=1.5≥1, dy=0.5dy=0.5
[size=16.002px]对于 (2,2): 0.5×2+1=2≥20.5×2+1=2≥2, dy=0dy=0
[size=16.002px]对于 (3,2): 0.5×3+1=2.5≥20.5×3+1=2.5≥2, dy=0.5dy=0.5
总和：0.5+0+0.5=10.5+0+0.5=1

[size=16.002px]与之前相同。看起来最小总和确实是1。

是否可以更小？

[size=16.002px]尝试 k=0.6k=0.6, b=0.8b=0.8:

[size=16.002px]直线 y=0.6x+0.8y=0.6x+0.8
[size=16.002px](1,1): 0.6+0.8=1.4≥10.6+0.8=1.4≥1, dy=0.4dy=0.4
[size=16.002px](2,2): 1.2+0.8=2≥21.2+0.8=2≥2, dy=0dy=0
[size=16.002px](3,2): 1.8+0.8=2.6≥21.8+0.8=2.6≥2, dy=0.6dy=0.6
总和：0.4+0+0.6=10.4+0+0.6=1

[size=16.002px]仍然相同。看起来最小总和确实是1。

另一个例子

[size=16.002px]考虑点 (1,2), (2,1), (3,3):

[size=16.002px]Sx=6Sx=6, Sy=6Sy=6

[size=16.002px]枚举点对：

[size=16.002px](1,2) 和 (2,1):
k=1−22−1=−1k=2−11−2=−1
[size=16.002px]b=max⁡(2−(−1)×1,1−(−1)×2,3−(−1)×3)=max⁡(3,3,6)=6b=max(2−(−1)×1,1−(−1)×2,3−(−1)×3)=max(3,3,6)=6
检查：(1,2): −1×1+6=5≥2−1×1+6=5≥2
(2,1): −1×2+6=4≥1−1×2+6=4≥1
(3,3): −1×3+6=3≥3−1×3+6=3≥3
目标函数：
−1×6+3×6−6=−6+18−6=6−1×6+3×6−6=−6+18−6=6
[size=16.002px]但 (1,2) 和 (2,1) 不在直线上 y=−x+6y=−x+6，所以不满足两个点在直线上。
[size=16.002px](1,2) 和 (3,3):
k=3−23−1=0.5k=3−13−2=0.5
[size=16.002px]b=max⁡(2−0.5×1,1−0.5×2,3−0.5×3)=max⁡(1.5,0,1.5)=1.5b=max(2−0.5×1,1−0.5×2,3−0.5×3)=max(1.5,0,1.5)=1.5
检查：(1,2): 0.5×1+1.5=2≥20.5×1+1.5=2≥2
(3,3): 0.5×3+1.5=3≥30.5×3+1.5=3≥3
目标函数：
0.5×6+3×1.5−6=3+4.5−6=1.50.5×6+3×1.5−6=3+4.5−6=1.5
[size=16.002px](2,1) 和 (3,3):
k=3−13−2=2k=3−23−1=2
[size=16.002px]b=max⁡(2−2×1,1−2×2,3−2×3)=max⁡(0,−3,−3)=0b=max(2−2×1,1−2×2,3−2×3)=max(0,−3,−3)=0
检查：(2,1): 2×2+0=4≥12×2+0=4≥1
(3,3): 2×3+0=6≥32×3+0=6≥3
但 (2,1) 和 (3,3) 不在直线上 y=2x+0y=2x+0，所以不满足。

[size=16.002px]最优解是 k=0.5k=0.5, b=1.5b=1.5, 目标函数 = 1.5

[size=16.002px]验证：

[size=16.002px](1,2): 0.5×1+1.5=2≥20.5×1+1.5=2≥2, dy=0dy=0
[size=16.002px](2,1): 0.5×2+1.5=2.5≥10.5×2+1.5=2.5≥1, dy=1.5dy=1.5
[size=16.002px](3,3): 0.5×3+1.5=3≥30.5×3+1.5=3≥3, dy=0dy=0
总和：0+1.5+0=1.50+1.5+0=1.5

结论

[size=16.002px]通过枚举所有点对，计算对应的 kk 和 bb，并验证是否满足两个点在直线上，然后选择使目标函数最小的解，可以找到最优的直线 y=kx+by=kx+b。

算法步骤

[size=16.002px]初始化最小目标函数值为无穷大，最优 kk 和 bb 为未定义。
[size=16.002px]对于所有点对 (xi,yi)(xi,yi) 和 (xj,yj)(xj,yj) 且 xi≠xjxi=xj：
a. 计算 k=yi−yjxi−xjk=xi−xjyi−yj。
b. 计算 b=max⁡l(yl−kxl)b=maxl(yl−kxl)。
c. 检查 kxi+b=yikxi+b=yi 和 kxj+b=yjkxj+b=yj 是否成立（即这两个点是否在直线上）。
d. 如果成立，计算目标函数 kSx+nb−SykSx+nb−Sy。
e. 如果当前目标函数小于已知的最小值，更新最小值和最优 kk, bb。
[size=16.002px]如果所有 xixi 相同（即所有点在垂直线上）：
- [size=16.002px]设 xi=cxi=c 对所有 ii。
- [size=16.002px]直线为 x=cx=c，但我们需要 y=kx+by=kx+b，所以可以设 kk 任意（如 0），b=max⁡yib=maxyi。
- [size=16.002px]目标函数为 nmax⁡yi−Synmaxyi−Sy。
[size=16.002px]返回最优的 kk 和 bb。

特殊情况

[size=16.002px]如果所有点共线，那么可以找到一条直线通过所有点，此时所有 dyi=0dyi=0，总和为 0。
[size=16.002px]如果有多个点对给出相同的最小目标函数，可以选择其中任意一个。

最终答案

[size=16.002px]综上所述，寻找满足条件的直线 y=kx+by=kx+b 的步骤如下：

[size=16.002px]枚举所有不同的点对 (xi,yi)(xi,yi) 和 (xj,yj)(xj,yj) 其中 xi≠xjxi=xj。
[size=16.002px]对于每个点对，计算斜率 k=yi−yjxi−xjk=xi−xjyi−yj。
[size=16.002px]计算截距 b=max⁡l(yl−kxl)b=maxl(yl−kxl)。
[size=16.002px]检查 (xi,yi)(xi,yi) 和 (xj,yj)(xj,yj) 是否都在直线 y=kx+by=kx+b 上（即 b=yi−kxib=yi−kxi 和 b=yj−kxjb=yj−kxj）。
[size=16.002px]如果满足，计算目标函数 ∑(kxl+b−yl)=kSx+nb−Sy∑(kxl+b−yl)=kSx+nb−Sy。
[size=16.002px]在所有满足条件的 (k,b)(k,b) 中，选择使目标函数最小的那个。
[size=16.002px]如果所有 xixi 相同，则设 b=max⁡yib=maxyi，kk 任意（如 0），此时直线为 y=max⁡yiy=maxyi。

[size=16.002px]这种方法确保我们找到的直线满足所有点在直线下方或之上，并且所有 dyidyi 的和最小。

这样的算法时间应该是O(n^2) ,如何能优化算法，在更优的时间内求解

初始理解问题

[size=16.002px]我们需要找到一条直线 y=kx+by=kx+b 满足：

[size=16.002px]对于所有给定的点 (xi,yi)(xi,yi)，有 kxi+b≥yikxi+b≥yi（直线在点上方或通过点）。
[size=16.002px]在所有满足上述条件的直线中，选择使得 ∑i=1n(kxi+b−yi)∑i=1n(kxi+b−yi) 最小的那条。

初始算法的时间复杂度

[size=16.002px]初始的算法是通过枚举所有点对来计算可能的 kk 和 bb，然后验证并选择最优解。由于有 O(n2)O(n2) 个点对，因此时间复杂度为 O(n3)O(n3)（因为对于每个点对，计算 bb 需要 O(n)O(n) 时间来计算最大值）。这显然不够高效。

优化思路

[size=16.002px]我们需要找到一种方法，避免枚举所有点对，从而降低时间复杂度。可以考虑以下方向：

[size=16.002px]凸包（Convex Hull）：在几何中，凸包是包含所有点的最小凸集。上包络（Upper Envelope）是凸包的一部分，可能与我们的问题相关。
[size=16.002px]线性规划（Linear Programming）：可以将问题表述为线性规划问题，利用高效的线性规划算法求解。
[size=16.002px]对偶问题（Dual Problem）：可能通过将原问题转化为对偶问题来简化求解。
[size=16.002px]斜率优化：类似于一些动态规划中的斜率优化技巧，可能可以应用在这里。

线性规划表述

[size=16.002px]将问题表述为线性规划：

[size=16.002px]变量：kk, bb
[size=16.002px]目标：最小化 ∑(kxi+b−yi)=k∑xi+nb−∑yi∑(kxi+b−yi)=k∑xi+nb−∑yi
[size=16.002px]约束：kxi+b≥yikxi+b≥yi 对所有 ii

[size=16.002px]这是一个具有两个变量和 nn 个约束的线性规划问题。对于低维线性规划（如二维），存在 O(n)O(n) 时间的算法（如 Megiddo 的算法或随机化算法）。

利用几何性质

[size=16.002px]观察到：

[size=16.002px]约束 kxi+b≥yikxi+b≥yi 可以重写为 b≥−kxi+yib≥−kxi+yi。
[size=16.002px]对于固定的 kk，最小的 bb 满足所有约束的是 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi)。
[size=16.002px]因此，目标函数为 kSx+nmax⁡i(yi−kxi)−SykSx+nmaxi(yi−kxi)−Sy，其中 Sx=∑xiSx=∑xi, Sy=∑yiSy=∑yi。
[size=16.002px]我们需要最小化 f(k)=kSx+nmax⁡i(yi−kxi)f(k)=kSx+nmaxi(yi−kxi)。

[size=16.002px]函数 f(k)f(k) 是凸的，因为 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 是凸的（作为线性函数的逐点最大值），而 kSxkSx 是线性的，因此 f(k)f(k) 是凸的。凸函数的最小值可以通过三分搜索或其他凸优化方法找到。

三分搜索

[size=16.002px]由于 f(k)f(k) 是凸的，可以在 kk 的可能范围内进行三分搜索来找到最小值。具体步骤：

[size=16.002px]确定 kk 的搜索范围 [kmin,kmax][kmin,kmax]：
- [size=16.002px]kminkmin 可以是最小可能的斜率（如负无穷或从点对计算的最小斜率）。
- [size=16.002px]kmaxkmax 可以是最大可能的斜率（如正无穷或从点对计算的最大斜率）。
[size=16.002px]在每一步，选择两个中间点 k1k1 和 k2k2，计算 f(k1)f(k1) 和 f(k2)f(k2)：
- [size=16.002px]如果 f(k1)<f(k2)f(k1)<f(k2)，最小值在 [kmin,k2][kmin,k2]。
- [size=16.002px]否则，最小值在 [k1,kmax][k1,kmax]。
[size=16.002px]重复直到 kk 的范围足够小。

[size=16.002px]每次计算 f(k)f(k) 需要 O(n)O(n) 时间（计算 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi)），三分搜索需要 O(log⁡(kmax−kmin)/ϵ)O(log(kmax−kmin)/ϵ) 次迭代，因此总时间为 O(nlog⁡(1/ϵ))O(nlog(1/ϵ))。

计算 [size=1.21em]bb

[size=16.002px]对于最优的 kk，计算 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi)。

验证最优性

[size=16.002px]最优解必须满足至少两个点 (xi,yi)(xi,yi) 和 (xj,yj)(xj,yj) 在直线上（即 kxi+b=yikxi+b=yi 和 kxj+b=yjkxj+b=yj），否则可以调整 kk 和 bb 进一步减小目标函数。因此，三分搜索找到的 kk 会对应于两个点“支撑”的直线。

可能的优化

[size=16.002px]如果能够快速计算 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi) 的“支撑”点（即决定最大值的点），可以进一步优化。这类似于凸包的上包络问题。

最终优化算法

[size=16.002px]结合以上思路，以下是优化后的算法：

[size=16.002px]预处理：
- [size=16.002px]计算 Sx=∑xiSx=∑xi, Sy=∑yiSy=∑yi。
[size=16.002px]三分搜索：
- [size=16.002px]初始化 kk 的搜索范围（可以通过点对的最小和最大斜率确定）。
- [size=16.002px]进行三分搜索，每次计算 f(k)=kSx+nmax⁡i(yi−kxi)f(k)=kSx+nmaxi(yi−kxi)：
  - [size=16.002px]对于给定的 kk，计算 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi)。
  - [size=16.002px]计算 f(k)f(k)。
- [size=16.002px]根据 f(k1)f(k1) 和 f(k2)f(k2) 的比较缩小搜索范围。
[size=16.002px]确定最优 kk 和 bb：
- [size=16.002px]当 kk 收敛时，计算 b=max⁡i(yi−kxi)b=maxi(yi−kxi)。
- [size=16.002px]验证至少两个点在直线上（确保最优性）。

时间复杂度

[size=16.002px]三分搜索：O(log⁡(1/ϵ))O(log(1/ϵ)) 次迭代。
[size=16.002px]每次迭代计算 f(k)f(k)：O(n)O(n)。
[size=16.002px]总时间：O(nlog⁡(1/ϵ))O(nlog(1/ϵ))。

[size=16.002px]这是比初始的 O(n3)O(n3) 算法显著的优化。

示例验证

[size=16.002px]考虑之前的例子：点 (1,1), (2,2), (3,2)。

[size=16.002px]Sx=6Sx=6, Sy=5Sy=5.
[size=16.002px]可能的斜率范围：从点对计算的最小和最大斜率：
- [size=16.002px](1,1)-(2,2): k=1k=1
- [size=16.002px](1,1)-(3,2): k=0.5k=0.5
- [size=16.002px](2,2)-(3,2): k=0k=0
  可以选择 k∈[0,1]k∈[0,1].

[size=16.002px]进行三分搜索：

[size=16.002px]kmin=0kmin=0, kmax=1kmax=1.
- [size=16.002px]k1=1/3k1=1/3, k2=2/3k2=2/3.
- [size=16.002px]计算 f(1/3)f(1/3):
  - [size=16.002px]yi−(1/3)xiyi−(1/3)xi: (1 - 1/3 = 2/3), (2 - 2/3 = 4/3), (2 - 1 = 1).
  - [size=16.002px]max⁡=4/3max=4/3, b=4/3b=4/3.
  - [size=16.002px]f(1/3)=(1/3)∗6+3∗(4/3)−5=2+4−5=1f(1/3)=(1/3)∗6+3∗(4/3)−5=2+4−5=1.
- [size=16.002px]计算 f(2/3)f(2/3):
  - [size=16.002px]yi−(2/3)xiyi−(2/3)xi: (1 - 2/3 = 1/3), (2 - 4/3 = 2/3), (2 - 2 = 0).
  - [size=16.002px]max⁡=2/3max=2/3, b=2/3b=2/3.
  - [size=16.002px]f(2/3)=(2/3)∗6+3∗(2/3)−5=4+2−5=1f(2/3)=(2/3)∗6+3∗(2/3)−5=4+2−5=1.
- [size=16.002px]f(1/3)=f(2/3)f(1/3)=f(2/3), 可以任意选择一半。选择左半 [0,2/3][0,2/3].
[size=16.002px]kmin=0kmin=0, kmax=2/3kmax=2/3.
- [size=16.002px]k1=2/9k1=2/9, k2=4/9k2=4/9.
- [size=16.002px]计算 f(2/9)f(2/9):
  - [size=16.002px]yi−(2/9)xiyi−(2/9)xi: (1 - 2/9 = 7/9), (2 - 4/9 = 14/9), (2 - 6/9 = 12/9).
  - [size=16.002px]max⁡=14/9max=14/9, b=14/9b=14/9.
  - [size=16.002px]f(2/9)=(2/9)∗6+3∗(14/9)−5=12/9+42/9−45/9=9/9=1f(2/9)=(2/9)∗6+3∗(14/9)−5=12/9+42/9−45/9=9/9=1.
- [size=16.002px]计算 f(4/9)f(4/9):
  - [size=16.002px]yi−(4/9)xiyi−(4/9)xi: (1 - 4/9 = 5/9), (2 - 8/9 = 10/9), (2 - 12/9 = 6/9).
  - [size=16.002px]max⁡=10/9max=10/9, b=10/9b=10/9.
  - [size=16.002px]f(4/9)=(4/9)∗6+3∗(10/9)−5=24/9+30/9−45/9=9/9=1f(4/9)=(4/9)∗6+3∗(10/9)−5=24/9+30/9−45/9=9/9=1.
- [size=16.002px]仍然 f(k)=1f(k)=1，可能需要更精确的搜索或观察到最小值为 1。

[size=16.002px]实际上，最优解为 k=0.5k=0.5, b=1b=1, f(k)=1f(k)=1。

进一步优化

[size=16.002px]如果能够快速确定哪些点决定了 max⁡i(yi−kxi)maxi(yi−kxi)，可以避免每次计算所有点。这类似于维护上凸包（Upper Convex Hull）。对于固定的 kk，yi−kxiyi−kxi 是点 (xi,yi)(xi,yi) 在方向 (k,−1)(k,−1) 上的“高度”，最大值对应于上凸包上的点。

[size=16.002px]因此，可以：

[size=16.002px]计算所有点的上凸包。
[size=16.002px]在三分搜索中，对于给定的 kk，在上凸包上找到最大化 yi−kxiyi−kxi 的点。

[size=16.002px]计算上凸包的时间为 O(nlog⁡n)O(nlogn)，然后每次查询可以在 O(log⁡n)O(logn) 时间内完成（因为上凸包上的点按 xx 排序，且 yi−kxiyi−kxi 的最大值可以通过二分或类似方法找到）。

[size=16.002px]因此，总时间可以优化为：

[size=16.002px]预处理（上凸包）：O(nlog⁡n)O(nlogn)。
[size=16.002px]三分搜索：O(log⁡(1/ϵ))O(log(1/ϵ)) 次迭代，每次 O(log⁡n)O(logn)。
[size=16.002px]总时间：O(nlog⁡n+log⁡(1/ϵ)log⁡n)O(nlogn+log(1/ϵ)logn)。

[size=16.002px]对于大多数情况，log⁡(1/ϵ)log(1/ϵ) 是常数，因此可以视为 O(nlog⁡n)O(nlogn)。

最优算法步骤

[size=16.002px]计算上凸包：
- [size=16.002px]使用 Andrew's monotone chain 算法或其他凸包算法计算上凸包（按 xx 排序，保留上凸部分）。
[size=16.002px]三分搜索：
- [size=16.002px]初始化 kk 的范围（如从凸包的最左和最右点计算斜率）。
- [size=16.002px]进行三分搜索，每次查询上凸包找到 max⁡(yi−kxi)max(yi−kxi)：
  - [size=16.002px]在上凸包上，yi−kxiyi−kxi 是凸的，因此最大值可以在 O(log⁡n)O(logn) 时间内找到。
- [size=16.002px]根据 f(k)f(k) 的值调整搜索范围。
[size=16.002px]确定最优解：
- [size=16.002px]当 kk 收敛时，计算 b=max⁡(yi−kxi)b=max(yi−kxi)。
- [size=16.002px]对应的直线 y=kx+by=kx+b 即为所求。

时间复杂度

[size=16.002px]计算上凸包：O(nlog⁡n)O(nlogn)。
[size=16.002px]三分搜索：O(log⁡(1/ϵ)log⁡n)O(log(1/ϵ)logn)。
[size=16.002px]总时间：O(nlog⁡n)O(nlogn)（主导项）。

总结

[size=16.002px]通过将问题转化为凸优化问题，并利用上凸包的性质，可以将时间复杂度从 O(n3)O(n3) 优化到 O(nlog⁡n)O(nlogn)。具体步骤如下：

[size=16.002px]计算给定点的上凸包。
[size=16.002px]使用三分搜索在上凸包上寻找最优斜率 kk。
[size=16.002px]对于每个测试的 kk，在上凸包上快速找到 max⁡(yi−kxi)max(yi−kxi)。
[size=16.002px]确定最优的 kk 和 bb，使得 ∑(kxi+b−yi)∑(kxi+b−yi) 最小。

[size=16.002px]这种方法高效且适用于大规模数据。

highflybird · 发表于 2025-7-21 12:24:53

这些文字显示不好，楼主可以用这些提示词去问AI ,可以从中得到思路

longxh28 · 发表于 2025-7-21 12:35:43

一根木棍从天而降，落在地上，大概率就是这条线。先找最高点，判断棍重心在哪侧，在重的那边找第二点，再判断稳定性，循环处理一下，估计是最简单但不严谨的做法。两侧

highflybird · 发表于 2025-7-21 14:17:28

经过发现，此问题可以在O(N*log(N))时间复杂度内求解，下面是求解的lisp代码：

highflybird · 发表于 2025-7-21 14:29:49

发一个演示上来，可以看到效率应该没问题。

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