几何作图题13--圆内做直角三角形

yimin0519

承8楼Lotto168的意思，结果如下图。
【此题可先用解析几何求得一条直角边的斜率(恰好为整数6或分数-1/6)，以此为据，作图就极为容易了。结果同10楼。】

qjchen

谢谢几位：）, Lotto168兄提到的最大面积，应该正如Andyhon兄和Yimin0519兄所解。

Yimin0519兄的说法让我仔细的思考了问题——过圆内一点最大的三角形面积是什么。

以前，我只思考过圆内最大的面积问题——由于圆的内接三角形中面积最大的是等边三角形。

那么，对于圆内任一点又如何呢。此题应可通过三角函数的极值问题得到。由于没有充裕时间去研究，因就本题的情况做了如下三个问题的求解。
（1）以A点为顶点的直角三角形，其面积变化规律如何，最大点和最小点的位置？
（2）以A点为顶点的等腰三角形，最大面积出现在什么情况？
（3）以A为边的等腰三角形，最大面积出现在什么时候？

那么如下图，得到相应问题的一些结论如下
（1）最大值出现在α=-π/4的位置，等腰直角三角形。此时三角形面积约是7897。（也可以从面积变化曲线看出，假如要给定面积，做出A为顶点的直角三角形的几何方法似乎是有难度的）
（2）最大值出现在α=-.6531700236，约37.44°。此时三角形面积约是8242。（此题出乎意外，这个角度和A点所处位置有关）
（3）最大值出现在α=π/2的位置，等腰三角形。此时三角形面积约是12911。（这个表明，要让面积最大，必须让过A的弦垂直A和圆心的连线。这个过A点最大面积必须是等腰三角形是可以很简单证明的，而个人猜想α=π/2也应该是正确的），这个时候的面积更大些。

个人猜想，情况三在大部分情况下就是“过圆内一点最大的三角形面积是什么”的解。

Lotto168

圓內任意點到圓邊的最短距離及最大距離為該點與圓心之連接線

 

若是圓內任一點，若該點在上圖之黃色圓外，則應可做出通過該點之正三角形(等邊三角形)，

若該點在黃色圓內，往後有時間再詳細研究，個人贊同qjchen君第(3)點等腰三角形之解說。