[求作]划分△ABC的周长与面积

chenjun_nj · 发表于 2008-12-19 21:45

对有内切圆的多边形也有同样的规律，过内切圆心的直线分割周长和面积为相同的比例。

yimin0519 · 发表于 2008-12-19 23:37

yimin0519 · 发表于 2008-12-20 02:00

整理两个证明：

yimin0519 · 发表于 2008-12-20 05:59

本帖最后由作者于 2008-12-20 6:01:50 编辑

呵呵，还有等分面积：
1、计算法：

2、等分周长法（尺规画法）：

（更正：应当是PR⊥BC）

watt5151 · 发表于 2008-12-20 10:34

本帖最后由作者于 2008-12-30 10:01:32 编辑

资料已转移到： [求作]划分△ABC的周长与面积(备份篇)

watt5151 · 发表于 2008-12-20 10:39

本帖最后由作者于 2008-12-30 10:02:48 编辑

资料已备份到： [求作]划分△ABC的周长与面积(备份篇)

watt5151 · 发表于 2008-12-20 10:41

本帖最后由作者于 2008-12-30 10:04:07 编辑

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chenjun_nj · 发表于 2008-12-20 18:06

chenjun_nj发表于2008-12-19 21:45:00对有内切圆的多边形也有同样的规律，过内切圆心的直线分割周长和面积为相同的比例。

这个不是猜想。
设多边形的内切圆半径为r，过内切圆心的直线m分多边形的周长为p1和p2两部分，那么过内切圆心连多边形的各个顶点，可知直线m两边的面积分别为p1*r/2和p2*r/2(各个小三角形的面积之和)，显然它们的比例也是p1:p2。

watt5151 · 发表于 2008-12-22 09:30

本帖最后由作者于 2008-12-30 10:05:58 编辑

小结几句：
㈠7楼chenjun_nj的计算作图是最老实的方法。
听妈妈说，老实不等于精灵。本题应该有比计算更巧妙的方法。
㈡注意内心：过内心的直线分割三角形的周长和面积为相同的比例！详见17楼yimin0519的‘三角形内心的一个性质’。
于是，1楼题可以简单化为9楼题：过内心作分割三角形的面积(或者周长）为要求的比例。
㈢14至17楼详述了由△ABC内(外)已知点作平分三角形面积(周长)的直线的方法，套用这些方法，9楼的题目即可完解；
如果利用已知点是特殊点内心，作法还可以更简单。
㈣下面就9楼的题目作分步解：

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watt5151 · 发表于 2008-12-22 09:33

本帖最后由作者于 2008-12-30 10:07:13 编辑

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