[自编]由一个“难作之图”想到的 . .

watt5151

yimin0519发表于2008-12-20 22:25:00确实没注意看，那根据两心关系—欧拉公式，似乎还缺条件啊。

缺条件的？

No ，请注意卡诺定理。

qjchen

：）
谢谢watt5151，题目出的很好
搜索了一下。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E8%AF%BA%E5%AE%9A%E7%90%86

谢谢，学了一招

chenjun_nj

点穿了就简单了，d和R均求出了。

watt5151

watt5151发表于2008-12-21 9:11:00请注意卡诺定理。

卡诺定理:三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

 

证明：
设△ABC的外接圆⊙O的半径为R，内切圆半径为r
  △ABC的边长分别为a、b、c ，三边的中点分别为X、Y、Z
∵由A、X、O、Z四点共圆
∴据托勒密定理，有OA·XZ=OX·AZ＋OZ·AX
于是，R·a=OX·b＋OZ·c                            --→①
同理，R·b=OX·a＋OY·c                            --→②
      R·c=OY·b＋OZ·a                            --→③
①＋②＋③，得：
R(a+b+c)=OX(a+b)＋OY(b+c)＋OZ(c+a)                 --→④
但    r(a+b+c)=△ABC面积的2倍=OX·a＋OY·b＋OZ·c  --→⑤
④＋⑤，得：
R(a+b+c)＋r(a+b+c)= OX(a+b)＋OY(b+c)＋OZ(c+a)＋OX·c＋OY·a＋OZ·b
所以，                    R+r=OX+OY+OZ
完了

搞定了卡诺定理，请问1楼题如何作？

chenjun_nj

此题借助上面的提示。
在内切圆上任取一点D作切线BC；作DI⊥BC，在DI上取E、F使DE=m、EF=n，作EO∥BC；
作出OI^2=R^2-2Rr=(R-r)^2-r^2=(m+n-2r)^2-r^2=FJ^2；
以O为圆心FI=m+n-r为半径作圆交直线BC于B、C；过B作圆I的切线交圆O于A点，连AC，完成。

yimin0519

楼上Chenjun_nj先生的作法也不失为一种好的作法，作为讨论，我也来提供两种作法。
作法一：（三角形内心性质）

（注：交点一般有两个，它们后导结果是对称的，原则上只能算作一解。）
作法二：（见我在7楼的说法——轨迹法反求外接圆圆心）
R＝H－r（H为三距离和，R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径）
发了贴才发现以下图中所描述圆半径r称谓有问题，但应当不影响阅读，先说明并致歉！

yimin0519

watt5151发表于2008-12-21 9:11:00缺条件的？No ，请注意卡诺定理。

就着夜深沉，屁眼插当归，后补一下：

watt5151

yimin0519发表于2008-12-23 3:05:0045422

这个卡诺定理的证明十分精彩！！

watt5151

[15楼chenjun_nj][16楼yimin0519]的作法都是高人之作，谢谢，楼主又学了三招。

楼主的作法与[15楼chenjun_nj]的相似，简述下：

作：设已知红圆的半径为r
①取O点，使得OI^2=(m+n-2r)^2-r^2 ，
②以O为圆心以m+n-r为半径作绿圆
  以O为圆心以m为半径作蓝圆
③作红蓝园的公切线交绿园于A、B
分别过A、B作红圆的切线，完成△ABC

yimin0519

watt5151发表于2008-12-23 9:48:00的作法都是高人之作，谢谢，楼主又学了三招。

所言有愈。借楼主之倡导，遁“杂算”于“图隐”，多引定法而已。