圆锥曲线作图问题

hejoseph

证明方法大概如下：
圆锥曲线作图就是不断求两个圆锥曲线或直线交点的过程，直线与直线的交点是尺规作图可作的，圆锥曲线与直线的交点是尺规作图可作的，因此只需要讨论两个二次曲线的交点情况。两条二次曲线的交点无非就是两个二元二次方程消元后得到的方程的解，消元后得到的方程可能是一次方程、二次方程、三次方程、四次方程，只需要讨论三次方程、四次方程的情形。
（1）假设$a$、$b$、$c$、$d$都是可作的量，对$d!=0$的任意三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$，可用抛物线$ax^2+bx+c+dy=0$与双曲线$xy=1$的交点作出其解。而仅有一实数解的三次方程的根可以利用可作量的二次根式和三次根式有限次复合组成，有三个实数根的三次方程的根可以用可作角的三等分角得到。
（2）任意四次方程根据其解法是由一个系数为可作量的三次方程的根以及利用这些根和可作量的二次根式的有限次复合组成，于是任意四次方程的根也可作。
注：若不熟悉三次方程和四次方程的解法，请先了解其解法。