求作一圆，交两定直线及一定圆成定角

chenmik

highflybird 发表于 2021-9-26 22:15
关于你上面的问题，可以有部分确定是可以有解的。
如果它们三个已知条件中，只要有相交的，就以交点为圆 ...

版主所言极是 。
已知两圆和一直线，如果不相交，我所能想到的就是将其反演为三个圆，将问题转化为交三定圆成定角。而三定圆的位置相交与相离，就本人所知的解法，也是不同的。而且蛮复杂。一直在想是不是有更佳的解法。
版主看来对反演很有研究，不知有何妙法？

highflybird

针对两个圆和一条直线的情况，我找到了一个作图方法，稍微有点复杂，但是是可以做的。
至于三个圆形的，找一个合适的圆把三个圆的其中一个反演成一条直线，那么问题就变成和上面的一样解。得到解反演回去即可。
下面贴上作图方法，分两种情况：

chenmik

highflybird 发表于 2021-10-3 23:39
针对两个圆和一条直线的情况，我找到了一个作图方法，稍微有点复杂，但是是可以做的。
至于三个圆形的，找 ...

版主太强了！那个N点的原理是什么？

highflybird

chenmik 发表于 2021-10-5 09:23
版主太强了！那个N点的原理是什么？

其实原理是从解方程得到的，我用余弦定理列方程，得到两组方程，然后两组相减，便得到了圆心的轨迹在一条直线上。这条直线一个点是两个圆的根轴于给定直线的交点，另外一点（在Y上的截距）根据方程得到了作图法。

chenmik

highflybird 发表于 2021-10-5 11:22
其实原理是从解方程得到的，我用余弦定理列方程，得到两组方程，然后两组相减，便得到了圆心的轨迹在一条 ...

很好。学习了

qjchen

chenmik 发表于 2021-9-26 19:21
多谢版主。其实版主上面所说的题目我都有琢磨过。我称之为阿波罗尼斯问题的一般形式（就是点、线、圆三个 ...

之前只是学习了一下阿波罗尼斯圆，因为对反演学得不太好，对交角问题也一直没有仔细研究过。

谢谢楼主提出这好问题，于是进行了一些学习，得到以下一些资料。

通过某书（书的来源是：几何作图与几何变换，作者刘凤璞编，出版时间1960.02，P45）知道了，这个问题是叫 斯坦纳交圆问题。也有相应的三维交球问题。

但是 这个 斯坦纳交圆问题 在国内文献中的资料并不多。所以，后续找到了斯坦纳的这篇原文（发表在Crelles Journal，第一期，同期他共发表了5篇论文，还有阿贝尔的7篇论文，阿贝尔，就是那个著名的求解高次方程的数学家），还有之后一位美国将军本杰明对此的解法，见后。

几何作图与几何变换 的这几页说明如下。






1826年第一期的Crelles Journal下载地址如下，有时候还是挺佩服外国人的这些资料，还是做得非常全的
https://www.degruyter.com/journal/key/crll/1826/1/html

在这篇文章中：Einige geometrische Betrachtungen.（一些几何学上的考虑）中，斯坦纳提到了这个问题：（看不懂德语，只好借助翻译软件大致翻译下）

Für die Versicherung, dafs der Verfasser Dasjenige, was die Franzosen in dieser Hinsicht gethan, vorher nicht gekannt habe, hofft er, werden nicht allein diejenigen seiner Bekannten, welche, bei täglichem Umgange mit ihm, die Entstehung und Entwickelung seiner Arbeiten beobachteten，sondern dem Sachkenner wird auch schon die umfassendere, allgemeinere Entwicklungsweise in den Untersuchungen, aus welcher nicht nur alle jene Betrachtungen, sondern auch eine grofse Menge neuer Resultate von selbst hervorgehen, ein Zeugnifs ablegen. So hat er z. B. die Untersuchungen über Kreise und Kugeln auf die Weise verallgemeinert, dafs die Winkel, unter welchen dieselben sieh schneiden, betrachtet werden, so dafs die Berührung nur als ein spezieller Fall des Schneidens anzusehen ist, nemlich der, wo der Sdhneidungswinkel=0 oder =180° ist. Und Ewar löset er durchHülfe der in den nachstehenden Paragraphen (I. II. III) entwickelten Lehrsätze nicht allein alle die verschiedenen (Apollonischen) Aufgaben über Berührung der Kreise und der graden Linien etc., sondern nodh weit mehr Aufgaben über das Schneiden der Kreise; wie z.B. folgende:
“Einen Kreis zu beschreiben, welcher drei der Grofse und Lage nach gegebene Kreise K1, K2, K3 respective unter den gegebenen Winkeln α1, α2，α3 schneidet.”
„Einen Kreis zu beschreiben, welcher vier, der Gröfse und Lage nach gegebene Kreise unter einerlei Winkel schneidet." U. s. w.
Und zwar werden alle diese Aufgaben ebensowohl bei Kreisen, die in einerlei Ebene, als bei Kreisen, die in einerlei Kugelfläche liegen, gelöset. Ferner werden analoge Aufgaben bei Kugeln im Räume gelöset, als z. B.:
„ Eine Kugel zu beschreiben, welche vier, der Gröfse und Lage nach gegebene Kugeln K1, K2, K3, K4 respective unter den gegebenen Winkeln α1, α2，α3 ，α4 schneidet.”
„Eine Kugel zu beschreiben, welche fünf der Gröfse und Lage nach gegebene Kugeln unter einerlei Winkel schneidet." U. s. w.
Nach dem frühern Plane des Verfassers sollten seine geometrischen Untersuchungen ein zusammenhängendes Werk ausmachen; allein bei der Ausarbeitung fand sich, dafs es zu ausgedehnt werden würde; andererseits war es ihm bis jetzt noch nicht möglich, seinen Untersuchungen ein bestimmtes Ziel zu setzen, weil sich dieselben noch täglich erweitern und auf neue Gegenstände anwenden lassen, so dafs bestimmte Schranken der freien Entwickelung des Gegenstandes nur nachtheilig sein würden. Der Verfasser wird daher erst einen Theil davon, .welcher
„Das Schneiden (mit Einschlufs der Berührung) der Kreise in der Ebene,
das Scheiden der Kugeln im Räume, und das Schneiden der Kreise auf der Kugelfläche"
enthalten soll, welche Untersuchungen schon vor zwei Jahren beendet waren, und deren Ausarbeitung zum Drucke gegenwärtig beinahe vollendet ist, in einem Bande von etwa 25 bis 30 Bogen, herausgeben, und wenn dieser erste Theil einige  Theilnähme findet, die übrigen Untersuchungen nachfolgen lassen.

DEEPL.COM的翻译如下（不太通顺，大致能看懂，他是为了说明他的原创性，并不是抄袭Poncelet等）
【为了保证作者事先不知道法国人在这方面做了什么，他希望不仅那些在日常交往中观察到他的工作的起源和发展的熟人，而且在调查中更全面、更普遍的发展模式，不仅是所有这些考虑，而且大量的新结果也是自己产生的，都能为专家作证。因此，例如，他把对圆和球的研究概括为这样一种方式，即考虑它们相交的角度，所以接触只被视为相交的一种特殊情况，即相交角=0或=180°的情况。通过下面几段（I.II.III）中提出的定理，他不仅解决了所有关于圆和直线接触的各种（阿波罗式）问题，而且还解决了许多关于圆的切割的问题，例如以下问题。
"描述一个与三个圆K1，K2，K3分别以给定的角度α1，α2，α3相交的圆，根据大小和位置。"
"描述一个与给定大小和位置的四个圆以相同角度相交的圆。以此类推。
所有这些任务都是针对位于同一平面的圆和位于同一球面的圆而解决的。此外，对于空间中的球体，也有类似的任务要解决，如：。
"描述一个与四个球体K1，K2，K3，K4分别相交的球体，给定大小和位置，给定角度α1，α2，α3 ，α4。"
"描述一个与五个大小和位置相同的球体相交的球体。" 等等。
根据作者早先的计划，他的几何学研究要形成一部连贯的作品；但在阐述的过程中发现，它将过于扩展；另一方面，他还不可能为他的研究设定一个明确的目标，因为它们仍然可以每天扩展并应用于新的对象，因此，明确的限制只会不利于该学科的自由发展。因此，作者将只包括其中的一部分，也就是
"平面内各圆的交点（包括接触）。
空间中球体的切割，以及球面上圆的切割"。
如果这第一部分被接受，那么其他的研究也将随之进行。
】

在查找这篇文献的过程中，发现了以下1882年的这篇论文，仔细查了一下，作者还真是一名美国将军，居然还同时也是个数学高手。
The Intersection of Circles and the Intersection  of Spheres.  BY BENJAMIN ALVORD, Brig. Gen. U. S. A.

里面比较详细地介绍了斯坦纳圆的解法，时间有限，暂时没有能很仔细地看完，只能有空再学习了。

关于Steiner（斯坦纳），我当时是大学时在学习德H.德里《100个著名初等数学问题—历史和解》时知道的，里面有许多问题和他有关，反演等都是他率先研究的。有空可以再补充一些关于他的资料。

摘自《世界著名数学家传记》之施泰纳（名字不同人翻译不同）篇：

在柏林期间，施泰纳同 N．H．阿贝尔(Abel)，A．L．克雷尔(Crelle)和雅可比友好，他们共同把一种有生气的新潮流注入数学中去．他们的努力得到了由克雷尔所创办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für diereine und angewandte Mathematik)很大的帮助，它后来成为一本著名的杂志，又称克雷尔的杂志．它的第一卷于 1826 年出版．施泰纳在第一卷上发表了他的一篇重要著作“若干几何考察”(Einige geometrische Betrachtungen)和受佩斯塔洛齐的启发而写成的文章“关于平面和空间分割的若干法则”(Einige Gesetze über die Teilung der Ebene und des Raumes)．从此以后，施泰纳在克雷尔的杂志上发表了大量的论文．他还有许多文章发表在 J．D．热尔岗纳(Gergonne)创办的《数学年刊》(Annales de Maghématiques)上．此外，他在 1832 年和 1833 年连续出版了两本著名的书，后面将详细介绍．

附件中附上这两篇文献，有兴趣的朋友可以下载。

chenmik

qjchen 发表于 2021-11-11 11:22
之前只是学习了一下阿波罗尼斯圆，因为对反演学得不太好，对交角问题也一直没有仔细研究过。

谢谢楼主 ...

非常感谢老师的回复。我当时也是看到老师的一个帖子后才开始接触反演的。
就是这个，http://bbs.mjtd.com/thread-181642-1-1.html，我还在最后回复了。

qjchen

chenmik 发表于 2021-11-11 13:26
非常感谢老师的回复。我当时也是看到老师的一个帖子后才开始接触反演的。
就是这个，http://bbs.mjtd.co ...

chenmik朋友谦虚了，这么几天的反演学习就很强了，欢迎多出好题。
我的水平多年没长了：），工作比较忙，偶尔做做题放松下。

chenmik

qjchen 发表于 2021-11-11 19:26
chenmik朋友谦虚了，这么几天的反演学习就很强了，欢迎多出好题。
我的水平多年没长了：），工作比较忙 ...

哪里是几天？老师是看走眼了吧，是去年回复。

wharan

用约束求解，可能只需要几分钟