[求人]老师，怎样画椭园的外切三边形

qjchen

:),谢谢hejoseph老师

一句仿射，让我大为汗颜，如此转换，确实问题就变得简单许多。还好，刚才验证了一下上面的做法，确实是没有错的。刚才还想错了，以为过外面一点对圆的切线仿射之后就不是切线了，其实，此外面一点也必须先经过仿射变换后才去做切线啊。嘿嘿，学了一招。

（其实，就是圆内接三角形和外切三角形的问题啊）

谢谢.

 

hejoseph

若为周长，可以这样作：作出橙色的大椭圆，过点O作红色给定的小椭圆的切线，与橙色大椭圆交于点A、C，过点A或点C作红色小椭圆的切线，切线与橙色的大椭圆交于点B，则三角形ABC就是所求，一般有两解。
大椭圆的长半轴为a，短半轴为b；令D=sqrt(a^4+b^4-a^2b^2)，则小椭圆的长半轴为a(D-b^2)/(a^2-b^2)，短半轴为b(a^2-D)/(a^2-b^2)。

chenjun_nj

1、三角形的内切圆有定理：三角形面积=周长*内切圆半径/2；
2、可以用解析几何证明：定圆的外切三角形中，正三角形的面积为最小；
3、按仿射几何，椭圆及它的外切三角形，可以由一个半径为椭圆长轴的圆及圆的外切三角形仿射得到；其对应的面积比就是长轴与短轴之比；
4、既然作出的圆外切正三角形是最小面积的，那么其仿射的椭圆外切三角形也一定是最小面积的。这个就是尺规作图的证明。

watt5151

qjchen发表于2008-9-15 21:19:00 43352

看完电视剧《上门女婿》再看本帖，说二句：

①假设△ABC是“面积最大的内接三角形”，那么，过A、B、C的切线即得“面积最小的外切三角形”。如何证明您作的平行线肯定与椭园相切？

②余下的问题是：如何证明△ABC是面积最大的内接三角形？

chenjun_nj

答watt5151：
因为仿射的圆与正三角形有这个平行及相切关系，仿射定理：仿射后的图形保留原来图形所对应的相切及平行关系。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-9-15 23:54:00答watt5151：因为仿射的圆与正三角形有这个平行及相切关系，仿射定理：仿射后的图形保留原来图形所对应的相切及平行关系。

OKOK,刚从草稿纸的中得到：

假设△ABC是“面积最大的内接三角形”，

那么，过A的切线的斜率等于BC的斜率，平行啦。

watt5151

watt5151发表于2008-9-15 18:44:00看电视剧了，您的作法明天再议。

引用定理：
椭圆的面积最小的外切n边形，其各边切点的座标(X,Y)是：
X=aCos(θ+2kπ/n)   Y=bSin(θ+2kπ/n)
其中k=0,1,2,3,...,n-1
a、b是长短半轴。

对于‘三角形’来说，三边切点的座标(X,Y)是：
X=aCosθ           Y=bSinθ
X=aCos(θ+120°)   Y=bSin(θ+120°)
X=aCos(θ-120°)   Y=bSin(θ-120°)

楼主试下作法：
①按5楼作切线的方法，过O点作椭圆的切线BC，切点为P
②设P点的横座标x=aCosθ
那么，另外二边的切点的横座标分别是

aCos(θ+120°)   aCos(θ-120°)
据此作出Q、R
③过Q作PR的平行线CA ，可以证明：CA是椭圆的切线
④过R作QP的平行线AB ，可以证明：AB是椭圆的切线
所以，△ABC为所求。

作为本帖的续集，请问：

怎样作椭园的面积最大的外切矩形？

watt5151

watt5151发表于2008-9-20 7:29:00作为本帖的续集，请问：怎样作椭园的面积最大的外切矩形？

有人对“怎样作椭园的面积最大的外切矩形”感兴趣吗？
楼主意在尽早了结本帖。

chenjun_nj

与轴成45°角的外切矩形面积最大（用解析几何计算的）。

watt5151

chenjun_nj发表于2008-11-2 17:26:00与轴成45°角的外切矩形面积最大（用解析几何计算的）。

中，中，楼上chenjun_nj大哥解决这个‘外切矩形’问题。