求作已知三角形的内接直角三角形

chenmik · 发表于 2023-4-23 13:55:20

chenjun_nj 发表于 2023-4-22 20:50
任意位置的M点终于作出来了，用到了反演。

大神解得妙啊！我想起了一道多年前未解的难题，不知是不是有解？

chenjun_nj · 发表于 2023-4-23 14:27:07

mahuan1279 发表于 2023-4-23 13:49
DF似乎一般不平行于IK.(仅当n为特值时才有平行关系）。

我的作法后有证明的，对任意n都平行的

mahuan1279 · 发表于 2023-4-23 15:54:37

本帖最后由 mahuan1279 于 2023-4-23 15:57 编辑

chenjun_nj 发表于 2023-4-23 14:27
我的作法后有证明的，对任意n都平行的

按照AM/MD=n，AD/PD=2n推导，共点K和平行存在矛盾。

chenjun_nj · 发表于 2023-4-23 16:03:47

mahuan1279 发表于 2023-4-23 15:54
按照AM/MD=n，AD/PD=2n推导，共点K和平行存在矛盾。

你没仔细看，我有证明共点，也同时证明平行

mahuan1279 · 发表于 2023-4-23 16:14:53

chenjun_nj 发表于 2023-4-23 16:03
你没仔细看，我有证明共点，也同时证明平行

嗯，验算后是对的，之前比例关系算错了。

highflybird · 发表于 2023-4-23 17:07:22

本帖最后由 highflybird 于 2023-4-23 17:10 编辑

从楼主的题目中，发现了这样的一个性质。因此，对于任意给定的D、E两点和角度，一般情况下，会有两个解。
但是，似乎证明上述命题有些困难。
应该与调和和射影几何有关。
附注：补充说明一下，这个椭圆过D、E两点。

mahuan1279 · 发表于 2023-4-23 17:32:44

本帖最后由 mahuan1279 于 2023-4-23 17:59 编辑

highflybird 发表于 2023-4-23 17:07
从楼主的题目中，发现了这样的一个性质。因此，对于任意给定的D、E两点和角度，一般情况下，会有两个解。 ...

张角定理可以证明。

qjchen · 发表于 2023-4-23 19:18:21

chenjun_nj 发表于 2023-4-22 20:50
任意位置的M点终于作出来了，用到了反演。

chenjun兄好强：）

因为D点在任意位置的情况，应该也是一个二次曲线和直线的交点问题。

chenjun兄的这个解法，应该是可以应用到D是任意点的情况的。

很荣幸参与到这个题目中来，也和各位学了不少东西~

mahuan1279 · 发表于 2023-4-23 20:29:53

EF交AD于K，令DK=x,则求解方程（a/M+b/N-2）*(1-x/N)^2+2*(1-a/M-b/N)*(1-x/N)+b/N=0

chenjun_nj · 发表于 2023-4-23 22:37:28

昨晚的作法其实与D点在不在三角形的底边上也没什么关系，今晚受反演的启发另给一个作法，只是不借助反演还没找出直接的证明。

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[尺规拾趣] 求作已知三角形的内接直角三角形